ファインマンが学生時代に考えた奇妙な問題は、80年後にようやく解決された。

ファインマンは、科学の世界に深い洞察をもたらした、興味深く考えさせられるアイデアを数多く持っていました。疑問の一つは、プリンストン大学での博士課程の研究から生まれたもので、水を噴射する（水を吸収する）スプリンクラーが逆方向にどのように動くのか、というものでした。この問題はかつて「ファインマン問題」と呼ばれ、多くの物理学者や物理学教師の注目を集めました。今、この質問はようやく満足のいく答えを得ました。

著者：Qu Lijian

科学に詳しいいたずらっ子で偉大な物理学者でもあったファインマンは、いたずらが大好きで、素晴らしいアイデアをたくさん持っていました。しかし、彼の独創的なアイデアの多くは、単に娯楽的なものではなく、非常に技術的かつ深遠なものであり、多くの科学研究者が深く考えざるを得ないほどです。

たとえば、導体を通過する磁束が変化すると、導体ループに起電力が発生することが知られています。ファインマンは授業で多くの例外について議論しました (『ファインマン物理学講義』第 2 巻第 17 章を参照)。このことがきっかけで、物理学の教師たちは微妙な点を分析する論文を多数発表するようになりました。

ファインマン物理学講義第 1 巻第 46 章では、1 つの章を使って永久運動機械、つまりブラウン運動ラチェットを分析していますが、これは通常の教科書ではほとんど取り上げられないトピックです。ファインマンの分析は物理学者たちをより深く考えさせ、熱力学、生物物理学、量子力学などの分野で非常に豊かな成果を生み出し、この仮説的な装置はファインマンにちなんで改名されました。

ファインマンは、彼の興味深い話の多くを「ファインマンさん、ふざけるな！」という本にまとめました。（冗談でしょう、ファインマンさん！）は 1985 年から出版されており、現在でも再版されています。

この本には、物理の教師や物理学者の間で幅広い関心を呼んだ物語が載っています。

スプリンクラーの問題

ファインマンはプリンストン大学の大学院生だったとき、「ハイエンド」の加速器研究室で非常に「低レベル」の実験を行った。この実験は、流体力学の教科書の演習問題をめぐる学生間の論争から始まった。「馬鹿なことを言わないで、ファインマンさん！」この質問を次のように説明してください。

S 字型の芝生用スプリンクラー（回転軸に取り付けられた S 字型のチューブ）を使用すると、軸に対してちょうど直角に水が噴霧され、軸が特定の方向に回転します。それがどのように回転するかは誰もが知っています。水が出てきた方向と逆の方向に逆流します。さて、ここで問題なのは、もしそれが湖やプールで、水がたっぷりある場合、このスプリンクラーを完全に水中に設置し、水を噴射するのではなく吸い込むようにした場合、スプリンクラーはどの方向に向くでしょうか?空中に水を噴射したときと同じように回転し続けるのでしょうか?それとも逆の方向に向かうのでしょうか?

これは有名なファインマンのスプリンクラー問題です。

写真（左）のスプリンクラーは水を噴射するときに反時計回りに回転しますが、水を吸収するとどうなるのでしょうか？出典: ファインマン: 天才の生涯と思想 (グレイック著)

ファインマンのクラスメートはこの質問に対する答えで意見が分かれた。ファインマンはこの問題について指導者のジョン・ウィーラーと議論したが、答えは得られなかった。ウィーラー氏はこう語った。

「昨日、ファインマンはそれが逆方向に回転していると私を納得させました。今日、彼はそれが反対方向に回転していると私を納得させました。明日は彼がそれが回転しているとどうやって私を納得させるのか興味があります！」

ファインマン（右）とウィーラー（左）。画像クレジット: RYAN INZANA

ファインマンは、これがうまくいくかどうか確かめるために実験をすることにしました。

ファインマンは加速器研究室で忙しく装置を作り、実験を始めました。その結果、圧力が高すぎて装置全体が崩壊し、ガラスの破片と水が四方八方に飛び散りました。見物に来ていた同級生はびしょ濡れになっていました。幸いなことに、ガラスの破片による負傷者はいなかった。加速器研究室の責任者である教授は、この混乱を見て激怒し、学生の研究室でそのような「低レベル」の実験を行っているとしてファインマンを叱責した。

実験は失敗したものの、ファインマンの伝記の中でジェームズ・グレイクが述べているように、ファインマンは、噴水が水を吸い上げるときに震え、その後元の位置に戻ってそこに留まるというのが疑問の答えであると確信していた。彼とウィーラーはその結果について誰にも話さなかった。

「馬鹿なことを言わないで、ファインマンさん！」『ある若者の物語』の出版後、この物語はより広く知られるようになり、多くの人々の興味を再び呼び起こしました。学術誌には関連論文が次々と掲載され、さまざまな理論的・実験的結果が発表された。中には、スプリンクラーは水を吸収する際に逆回転するだろうという論文もあった。回転してから止まると言う人もいました。また、回転は特定の装置に関連していると主張する人もいました...結論が多すぎるため、最終的にはトップの教育ジャーナルである American Journal Physics が、矛盾する実験結果のために 1989 年に関連論文をこれ以上掲載しないと決定しました (Am. J. Phys. 1992、60、12)。しかし、関連記事が続々と寄せられ、決定は実行されなかった。

この一見単純な疑問は、物理学者や物理学の教師の間で常に白熱した議論を引き起こし、さまざまな現象に対する相反する実験に基づいて矛盾する理論を組み立ててきました。

今、良いニュースが届きました。ニューヨーク大学の中国人博士課程学生である王凱哲さんは、指導教官の指導のもと、この問題をめぐる論争を完全に解決した。

実験のセットアップと現象

研究者たちは、次の図(a)と(b)に示すように、慎重に装置を設計しました。

(a) 実験装置の断面図。（b）水流制御装置、水量は調整可能です。 (c) 実験観察の模式図。染料分子と小さな粒子が水に加えられ、レーザーで照射され、カメラで写真に撮られ、記録されます。画像出典：参考文献[1]

円筒形の装置にL字型のスプリンクラーパイプが2本取り付けられています。中央シリンダーの底部は閉じられており、内側と外側の 2 つの層の円筒形プラスチックで構成されています。内側と外側の円筒形チューブの上部には、2 つを接続するための環状のカバーがあります。

今研究すべき問題は、スプリンクラーパイプが水中に浸かって吸引パイプになったときに、スプリンクラーはどのように回転するかということです。

実験の鍵となるのは、ほぼ摩擦のないベアリングを設計することです。摩擦をなくすことは実験における大きな課題であり、これまでの実験結果が非常に奇妙なものとなった主な理由です。研究者たちは、スプリンクラーの内筒に毛細管を挿入し、スプリンクラーの周りにガラスのリングを取り付けた。毛細管とガラスリングの間、および 2 層の円筒管の間で毛細管現象が発生します。これらの装置のサイズと材質を慎重に設計し、毛細管現象を巧みに利用することで、スプリンクラーは毛細管にぶつかることなく毛細管の周りを回転することができます。システム全体の固体デバイス間の接触がないため、摩擦は非常に小さくなります。

研究者たちはまず、スプリンクラーが通常通り水を噴射する様子を観察した。この動きは直感と一致しています。スプリンクラーは回転するロケットのように移動し、噴射される水によってスプリンクラーは水噴射と反対方向に回転します。

逆スプリンクラーは、スプリンクラーが水を吸収しても回転しますが、速度は正スプリンクラーの1/50となり、不安定になります。スプリンクラーに噴射された水は互いに衝突しますが、完全に正面から衝突するわけではないため、一定のトルクが発生し、スプリンクラーが回転します。機械は水を噴射するときと逆方向に回転しますが、これは単に水が噴射と逆方向に吸い込まれるからではありません。

スプリンクラー内部の水の流れは、以下のビデオでご覧いただけます（水の流れをより明瞭に示すために、装置の回転を防止しています）。

研究者らはレイノルズ輸送定理に基づいて、この装置の数学的モデルも確立した。

レイノルズ輸送定理は、非常に簡単に言えば、ある物の量の時間の経過に伴う変化は、その物の時間の経過に伴う既存の量の変化と、その物が配送または発送される純増加量を加えたものに等しいことを意味します。たとえば、時間の経過とともに家庭内の蒸しパンの数が増えるということは、時間の経過とともに家庭内の蒸しパンの数の変化（家族全員が蒸しパンを食べる割合から蒸しパンを蒸す割合を引いたもの）と、他の人があなたの家に蒸しパンを届ける割合（家族が蒸しパンを届ける割合を引いたもの）を加えたものに等しいということです。

もう少し正式な言い方をすると、ある体積内の物理量の時間による変化率は、体積内の物理量の時間による変化率と、体積の表面を通る物理量の流束の合計に等しいということです。ここで言う物理量とは、質量、運動量、エネルギーなど、システムのあらゆる物理的特性のことであると言えます。

この記事で紹介したファインマンのスプリンクラー対策問題では、調査対象の物理量は角運動量 L です。レイノルズ輸送理論によれば、次の方程式が成り立ちます。

ファインマン反スプリンクラーの幾何学的パラメータを代入することで、流体の物理量を得ることができます。ここでは具体的な詳細には触れません。

レイノルズ輸送方程式の記号は何を意味しますか?出典：参考文献[1] 補足資料

実験結果は理論モデルを使用して計算された結果とよく一致しています。

(a) スプリンクラーが水を噴霧しているとき（赤）と水を散布しているとき（青）のスプリンクラー速度の時間の経過に伴う変化を実験的に測定したもの。 (b) スプリンクラー定常速度の実験結果（原点）と計算結果（二乗と直線）。画像出典：参考文献[1]

解くのが楽しいパズル

逆スプリンクラーは吸収方向と逆方向に回転します。この研究は数十年にわたる論争を完全に解決し、物理学者、教師、学生の好奇心を満たしました。

この結論には実用性がないようです。結局のところ、誰もこんな方法で芝生の水を吸い取ろうとは思わないでしょう。しかし、論文の著者らは、この研究は水の流れを正確に制御するために使用できる可能性があり、水の流れからエネルギーを得るのに大きな価値があると考えています。

現時点ではこの壮大な展望は見えませんが、物理学者や教師たちが何十年にもわたって「小さな問題」に取り組んできた努力を体験するのはやはり楽しいことです。

参考文献

[1] 物理学改訂版レット。 132、044003（2024）。出典: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.132.044003