数える：小さな棒に刻まれた古代中国の数学の知恵

現代人にとって単純に思える数字は、実は人類の数万年にわたる数学的発展の結果なのです。数値をどのように表現し記録するか、またどの基数を使用するかによって、数学演算、アプリケーション、さらには記録の受け渡し方法が直接決まります。アラビア数字は小数点が明確で書きやすいという利点があり、現代世界では一般的に使用されている計算記号となっています。

アラビア数字は実際にはインド人によって発明され、アラブ人によってヨーロッパに導入されたためその名前が付けられました。学術的にはインドアラビア数字と呼ばれます。インド人がこのシステムを発明する以前、中国は実用的で完全な計数システムである計数棒システムを開発していました。

中国は十進法の数字の表記法を開拓した

中国科学院自然科学史研究所の研究員である鄒大海氏は、そろばんは古代中国でよく使われていた計算道具で、そろばん、チョウ、セ、チョウセ、計算機とも呼ばれていたと述べた。数え棒を使用して数えたり計算したりすること、および対応する方法を数え棒と呼びます。数えることは古代中国の数学の特徴です。

古代において、中国の数学は東アジアの数学の代表であり、世界の数学の歴史において独特の特徴を持っていました。鄒大海氏は、他の地域の古代数学と比較して、中国の古代数学は計算とアルゴリズムに優れていると考えています。主な理由の 1 つは、計数棒が広く使用されたことです。計数棒は、高度な数値体系を生み出しただけでなく、未知の量や代数式を表す一連の方法も生み出しました。代数記号の機能を独自の方法で実現します。

基本システムは数学の基本的な概念の 1 つであり、「いくつかの基本単位の蓄積によって次の単位が形成される」ことを意味します。人々がよく知っている数値体系には、最も一般的な 10 進法、時間や角度の測定に使用される 60 進法、コンピューター分野で一般的に使用される 2 進法と 16 進法などがあります。

位置値システムの概念は数値システムに基づいて開発されました。つまり、数値の位置はデジタル単位の対応する倍数を表すことができます。たとえば、アラビア数字の 5234 では、5 は「千」の位置にあり、5 つの千を表します。一方、2、3、4 は「百」、「十」、「一」の位置にあり、それぞれ 2 つの百、3 つの十、4 つの一を表します。多くの数値体系には位置値の概念がありません。たとえば、古代エジプトの数字は位置の値の概念がないため、非常に扱いにくいです。

鄒大海は、十進法が最初に見られたのは古代エジプトであったと紹介しました。位置システムは、人々が60進法の位置システムを採用した古代メソポタミア地方で最初に見られました。現代の十進法の位置付けのシステムは中国で生まれました。

中国では十進法がかなり早くから採用されており、漢字の数字表記も十進法です。 1 つは基本数であり、数値単位でもあります。さらに、一般的な数値の単位には、十、百、千、一万、億、兆、キロメートルなどがあります。

たとえば、「一兆八百五十三億二百八十万八千八百五十一」という数字は、空の数字を 0 に置き換え、兆、十億、万、千、百、十などの数値単位を削除することで、「一八五千三百二十一八万八千八百五十一」に変換できます。これは現代の数字「1853020188851」と1対1で対応します。漢字の数え方は非常に進歩しており、一般的に使用されているアラビア数字に簡単に変換できることがわかります。しかし、漢字の表現体系はあくまでも準十進数値体系であり、まだ完璧ではありません。実際の十進法は、数え棒を使用した数え方です。 14 世紀以前は、計算棒が広く使われていましたが、徐々にそろばんに取って代わられました。

数え棒のイメージは箸のイメージに似ており、これは古代人が長い棒で数を数える習慣に由来しています。 1 から 9 までの数字を表す数え棒には、垂直と水平の 2 つの形式があります。

『夏侯昊算経』には、「6より大きい数字は5を上に置き、6は全体として数えず、5は単独でも数えません」とある。つまり、1 から 5 までの数字については、数えチップの数だけ使用します。 6 から 9 までの数字については、その中に含まれる 5 を表すために上部にカウント チップを使用し、そのチップと垂直になる数だけカウント チップを使用して下部に置きます。たとえば、╥ は 7 を表し、上の 1 つは 5 を表し、下の 2 つは 2 を表します。

『孫子算経』には、多桁の数字については、駒を数えて表す方法が次のように記されています。「いかなる計算方法においても、まずその位置を認識しなければならない。一は垂直、十は水平。百は直立、千は剛。千と十は反対、万と百は等しい。」古代人は、一の位には縦のカウントチップ、十の位には横のカウントチップ、百の位には縦のカウントチップ、千の位には横のカウントチップなどを使用していました。鄒大海氏は、2つのスタイルのうちの1つだけを使用しても十分であったが、交差方式の方が明確で混乱する可能性が低いと強調した。そろばんの数え方は、西周の時代から春秋時代、あるいはそれ以前に始まったと考えられています。この計算方法の痕跡は、秦以前の時代の陶器の破片や貨幣の発掘物に見ることができます。

カウントと計算機能

数え棒を使った足し算や引き算の計算は比較的簡単で、古代人の記録には残っていません。複雑な掛け算と割り算のために、古代人は棒を 3 列に並べ、真ん中の列を積または被除数、下の列を乗数または除数、上の列を被乗数または商としました。九九リズムとそろばんの数え方を組み合わせて使うことで、結果を得ることができます。このプロセスは本質的には現代の垂直方向の乗算と除算に似ています。

そろばんは線形方程式を解くのにも使えます。紀元前1世紀に書かれた『九章算術』では、問題を表現し解決するために「方程式」と呼ばれる方法が使われていました。その表現と計算方法は、現代の拡張行列と非常によく似ています。線形方程式を解くための拡張行列法は、18 世紀から 19 世紀の変わり目にヨーロッパで初めて登場しました。鄒大海氏は、計算された方程式において、異なる位置は異なる未知数と定数項を示す機能を持ち、これは現代の分離係数法に相当すると紹介した。それは正の数と負の数の概念を生み出した方程式でした。古代では、負の数と正の数を表すために、黒と赤のカウントチップが一般的に使用されていました。

『九章算術』では、平方根や立方根を取ったり、二次方程式を解いたりするのにも数え棒が使われています。この方法は発展を続け、宋代までには一変数の高次方程式の数値解を求める一連の方法が形成されました。宋代と元代には、方程式を書くための一般的な方法が開発されました。まず、単一の未知数を解くための天元法が登場しました。その後、未知数を表すために天、地、人、物を使用し、最大 4 つの未知数を含む高次方程式を記述して解く思源法へと発展しました。鄒大海氏は、この方法では、チップを数えることと「太」や「元」という漢字を除いて、列挙された式にいかなる記号も使用していないことを強調した。代わりに、位置を通じて未知の量とその力を反映し、代数記号の機能を実現します。これは、いくつかの点で現代の記号手法よりもさらに有利です。

古代中国では、筆記棒や数え棒を使って数学的な作業が行われ、受け継がれてきました。強力な計数、記号、計算機能を備えた数え棒は、古代中国の数学の発展に重要な役割を果たしました。

その後、商業の発展に伴い、そろばんの計算方法とそれに対応する公式が開発され、そろばんの計算はそろばんに置き換えられました。そろばんは、そろばんの公式や方法を採用し、改良することで、ビジネス、会計、日常生活に大きな役割を果たしています。

しかし、計画にも限界があります。鄒大海氏は、棒を数えることの欠点の一つは計算過程を保存できず、中間操作における誤りを追跡することが難しいことだと指摘した。第二に、計数棒は多くのスペースを占有します。 3 番目に、4 つ以上の要素を持つ列の式と演算を実装することが困難です。

中国の伝統文化に影響を与える計画

明代には天元法と思源法が失われ、算木はそろばんと筆算に取って代わられましたが、その方法と思想は今でも数学の発展に役割を果たしており、中国の思想と文化のあらゆる面に浸透しています。

鄒大海氏は、計画の重要性は一連のルールと方法を策定し、活用することにあると強調した。数えることは主に知性に依存し、精度に特別な注意を払うため、伝統的な中国文化では知的活動を反映する多くの用語が数えることに関連しています。例えば、計画を立てることを「运谋」または「谋计」といい、指揮官の後方での優れた計画が前線の勝利につながることを「运算圍戰、決胜千里」と表現します。たとえば、綿密に検討することを「入念な計画」や「念入りな計画」と呼び、計画を間違えることを「誤算」や「戦略ミス」と呼びます。他にも、よく言われる「計算」「秘算」「計算」「占い」「勝算」などの言葉も、すべて古代の計算思考から生まれたものです。

「古代人は数え棒の位置機能を徹底的に研究し、数え棒を使って代数式を表し、対応する計算方法を考案し、古代中国に独特の数え棒の伝統を形成しました。古代中国の算術と代数はかつて先進的で、世界をリードしていましたが、それは数え棒と大きく関係していました。数え棒は中国文化の重要な部分であり、数え棒の考え方も社会文化と人々の生活に一定の影響を与えてきました。」鄒大海は言った。