アマチュアによる2つの重要な発見が、組合せ数学に重要な進歩をもたらしました。

2023年3月、プロの数学者と愛好家からなる小規模なチームが、平面モザイクの分野における「アインシュタイン問題」を解決できる「帽子」図形を発見した重要な論文を発表しました。わずか3か月後、彼らはさらに一歩進んで、鏡面対称性を必要としない、帽子に基づいた非周期的なモザイク模様を発見しました。そして、これらの驚くべき発見は、アマチュアの数学愛好家から始まりました。

著者 |ジアウェイ

「それは明白な視界に隠れていた。」

—ドリス・シャットシュナイダー、ペンシルベニア州モラヴィア大学数学名誉教授

2022年11月中旬、退職した印刷技術者のデイビッド・スミス氏には、ジグソーパズルのピースをいじったりデザインしたりという、彼の大好きなことを行う時間がたっぷりありました。

彼は、PolyForm Puzzle Solver というソフトウェアパッケージを使用して、帽子のような形をした、見た目は目立たないタイル (舗装ブロック) を作成しました。彼は、隙間や重なりを残さずに、この形状のタイルのみで平らな表面を覆うことができるかどうかを確認したかったのです。

「これまで見たことのないモザイク効果が生み出されていることに気づきました」と彼は語った。「ちょっと扱いにくいタイルだよ。」

彼は、同じ考えを持つ友人でカナダのウォータールー大学のコンピューター科学者クレイグ・カプランに自分の研究について説明し、カプランはある可能性に気づいた。その後、スミス氏とカプラン氏は、国立数学博物館とアーカンソー大学の数学者チャイム・グッドマン＝シュトラウス氏と、イギリス・ケンブリッジのソフトウェアエンジニア、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ氏の2人の研究者をチームに招き入れた。

博士号を持つマイヤーズ氏。組合せ数学の専門家である彼は、すぐにすべての余暇を帽子型タイルの解析に費やし、わずか1週間余りで重要な証明を提示しました。「彼がいかに早くそれを理解したかに、私たちは皆本当に驚きました」とカプラン氏は語った。

2023年3月20日、4人のメンバーからなるチームは、いわゆる「アインシュタイン問題」の解決策を発見したことを数学界に正式に発表しました。スミスが発見した帽子形のタイルと、帽子形のタイルの連続的な変形によって生成されるタイルのファミリー（いくつかの例外を除く）はすべて、平面全体を非周期的にタイル張りできる単一の形状のタイルです。【なぜ「アインシュタイン」問題と呼ばれるのか？以下をご覧ください。］

「ハット」を使用して、平面全体を非周期的にテッセレーションします。丨画像ソース: @[email protected]

当時、数学界全体が衝撃を受けました。ご存知のように、過去半世紀にわたって、数学者は平面全体を非周期的に敷き詰めることができる単一の形状のタイルを 1 つも見つけることができませんでした。その結果、スミスらは半年も経たないうちに無数のグループを発見した。

数学界にとってもう一つ不可解なのは、彼らの研究の出発点となった帽子型のタイルが、実はごく普通の13角形だったということだ。

帽子型タイル |画像ソース: @[email protected]

さらに、重要な発見をした上記の 4 人を含め、彼らがわずか 2 か月後に再び数学界に衝撃を与えることになるとは、当時は誰も想像できなかったでしょう。
非周期的タイル分割とアインシュタインの問題

タイル張りは、一般的に舗装、平らな舗装、または密な舗装と訳され、組み合わせ数学の分野における大きな分野です。一般的な考え方は、特定の形状単位を使用して、平面または空間など、特定の幾何学的領域を隙間や重なりなくカバーすることです。しかし後者の場合、タイリングに使用される単位は 2 次元タイルから 3 次元以上の「ビルディングブロック」に変更されます。

たとえば、単位正方形タイルで 2 次元平面を「簡単に」タイル張りすることができます。もちろん、実際の操作は非現実的ですが、数学的な思考は私たちに自由な可能性を与え、それを実現するプロセスには無限の時間が必要であるにもかかわらず、2次元平面全体を単位正方形のタイルでタイル張りすることは本質的に簡単であることを合理的に理解できるようにします。同様に、直線は両方向に無限に伸びる線分であり、無限を含む直線の概念を理解し、それを平面幾何学の基礎として使用することができます。

もう少し考えてみると、正六角形も平面を密に並べることができることがわかります。同様に、正三角形も使用できます。次のテッセレーションは、周期的なテッセレーションの最も単純かつ明白な例です。

正六角形タイルの周期的な舗装パターン |出典: インターネット

これから紹介するアインシュタインの問題は、非周期的タイリング (通常は「非周期的タイリング」と訳される) に属します。いわゆる「非周期的舗装」とは、使用されるタイルのセットが、形成されるモザイクパターンが周期的でないように舗装される必要があることを意味します。明らかに、正方形および正六角形のタイルは平面を周期的に並べることしかできず、非周期的に並べることはできません。また、平面を非周期的に敷き詰めることができるタイルは、前述の帽子型のタイルのように非対称な特性を持つはずだと直感的に考えることも簡単です。ここで注意すべき点は、パターンが周期的ではないと言う場合、使用されるタイルの形状が一度決定されると、タイルをどのように組み合わせ、組み合わせ、または設計しても、全体的に周期的なパターンを作成することは不可能であることを意味します。これは非周期的タイル張りと呼ばれ、多くのタイル張り（セラミックタイル）は周期的と非周期的の両方の特徴を持っています。したがって、非周期的タイリングは「本質的に非周期的なタイリング」、つまり周期性がまったくないタイリングと翻訳できます。以下で述べる「非周期的タイリング」は、特に指定がない限り、「本質的に非周期的なタイリング」を指します。

数学者が非周期性についてこのように厳密な定義を行った理由は、一方では、あまりにも普通で退屈な幾何学的構造を排除するためであり、他方では、非周期的なタイル張りの歴史的起源に関係しています。非周期的タイリングを体系的に研究した歴史上最初の数学者は、優れた中国系アメリカ人の数理論理学者、王浩でした。

チューリング計算可能関数を研究しているときに、王昊は、ある決定可能性命題が非周期的テッセレーションと密接に関連していることを発見しました。ある時点で、彼は次のような仮説を証明しようとしました。「ある種類のタイルの（一般的に言えば）非周期的なタイリングが存在する場合、周期的なタイリングも存在するはずだ。」

しかしその後間もなく、王昊の弟子ロバート・バーガーが反例を構築した。彼は 20,426 個の異なるタイルを使い、本質的に非周期的なタイリングを構築しました。タイルをどのように並べ替えても、周期的な構造は現れません。それ以来、数学者は本質的な非周期的タイル分割に注目し続けています。数学者は、より少ない数のタイルのセットを使用して非周期的なタイリングを構築できるかどうかを知りたがっています。

その後、人々は 20,426 という数字を 92 枚のタイルのセットに減らし、次に 6 枚、そして最後に 2 枚のタイルに減らしました。これは、将来ノーベル物理学賞を受賞したロジャー・ペンローズにちなんで、有名なペンローズタイルです。

本質的に非周期的なタイリングの最後の大きな発見は、数学者ロジャー・ペンローズが凧（明るい黄色）とダーツ（赤）を使用したペンローズ菱形タイリングを発見した 1974 年に遡ります。技術的な詳細: 右側の菱形の形成を回避するために、パターンを少し変更する必要があります (もちろん、合同な菱形は平面を周期的にタイル張りできます)。これにより、基本的な「非周期的なタイル張り」の定義を満たすことができます。丨出典:
https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf

では、その数を 1 に減らすことは可能でしょうか?

これは有名なアインシュタインの問題です。平面全体を非周期的にタイル張りするために使用できる単一の形状のタイルは存在するでしょうか?

ここでのアインシュタインは有名な物理学者とは何の関係もありません。これはドイツの幾何学者ルートヴィヒ・ダンツァーによる単なる語呂合わせです。ドイツ語で「ein stein」は「石片」を意味します。

さて、物語の冒頭に戻ると、2023年3月末に、デビッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、チャイム・グッドマン・ストラウスがアインシュタイン問題に終止符を打ちました。

しかし、物語はそこで終わりません。

芸術、インスピレーション、そしてパズルの最後のピース

実際、スミスらは、非周期的なタイリングに帽子形のタイルを使用した場合、帽子形の鏡面対称タイルを使用する必要がありました。現在のコンテキストでは、2 つの鏡面対称のタイルは同じ種類と形状のタイルであると想定します。

上のタイルはすべて同じ形をしています（いわゆる帽子です）。しかし、染色の助けを借りて、いくつかの構造を明らかにすることができます。濃い青色のタイルは、他のタイルの鏡像です。それぞれの濃い青色のタイルは、同じように他の 3 つの薄い青色のタイルに囲まれています。丨画像ソース: @[email protected]

左手と右手が鏡像対称であるのと同じように、回転や平行移動によって左手と右手を重ね合わせることは不可能です。 2 つの鏡面対称タイルは、回転または平行移動によって互いに変換することもできません。その場合、それらは本当に「シングル」タイルと呼べるのでしょうか?

数学界がスミスらの研究成果を広く認めた後、新たな疑問がすぐに浮上しました。それは、回転と平行移動のみで、鏡映対称性の助けを借りずに非周期的に並べることができる、真に単一の形状のタイルを見つけることは可能かどうか、というものです。

当時、この後続の問題は極めて困難であると誰もが考えており、近い将来に突破口が開けるとは誰も予想していませんでした。答えがみんなの目の前にあるなんて、誰も想像できなかったでしょう...

北京時間2023年5月30日早朝、デビッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズほか5名が23ページの新論文「アキラル非周期的モノタイル」（「帽子」形タイルに関する以前の論文は89ページ）を発表し、最終的な答えを見つけたと発表した。

彼らは、鏡面対称性の助けを借りずに、回転と平行移動のみで非周期的にタイル張りできる、真の単一形状のタイルを発見しました。彼らはそれを「スペクター」と名付けました。

魔法のようなシンプルなゴーストタイルは、厳密にカイラルな非周期的単体です。つまり、平行移動と回転を使用して、繰り返しのないパターンにのみタイル張りできます。鏡面反射タイルを使いたくても使えません。丨画像ソース: @[email protected]

論文をアップロードした後も、カプラン氏はまだ満足せず、インスピレーションの源、考え方、証明のアイデアなど、最新の研究の詳細を数学オンラインコミュニティ「mathstodon」で興奮しながら共有しました。

前述のように、彼らが発見したのは、アインシュタインの問題を満たす単一のタイル単体ではなく、アインシュタインの問題を満たす多角形タイルの無限のタイル集合でした。条件を満たす帽子を作った後、研究チームは帽子の端を微妙に調整して、条件を満たす同様の形状を生成しました。

Kaplanら特定のルールの下では、これらの多角形タイルの形状は、実際には 2 つの辺の長さによって一意に決定できることが分かりました。したがって、これらのポリゴンは Tile (a, b) として表されます。ここで、a と b は特定の辺の長さの数値です。

この表現では、ハットはTile(1,√3)です。また、Tile(√3, 1)も非常に人気のある構成です。また、その直感的な外見から「カメ」という通称も持っています。タートルは非周期的なテッセレーションも実現できます。タイル (a, b) の場合、a と b が一定の範囲内で連続的に変化すると、結果として得られるタイルの構成は常に非周期的なタイリングになります。

一方、等しい辺を持つ多角形タイル (1, 1) は、以前の帽子型タイルの構築 (鏡面対称タイルを使用) に対する注目すべき例外であり、本質的に非周期的ではないことが示されます。

しかし、上記の知識だけでは突破口は開けません。この躍進のきっかけは、まったく予想もしなかった芸術分野から生まれました。

日本のモザイクアーティスト、グラフィックデザイナー、立体インスタレーションデザイナーの荒木良明は、帽子シリーズから派生したタイルモザイクやテッセレーションパターンに興味を持っています。彼はタイル Tile (1, 1.01) のタイリング効果を示すデモを共有しました。

チームの 4 人のメンバーのうちの 1 人である David Smith は、数学の仕事や教育のバックグラウンドはありませんでしたが、幾何学パズルに関して並外れて優れた直感力を持っていました (帽子の形を最初に思いついたのも彼だったことを忘れないでください)。彼は荒木良明氏のデモンストレーションプログラムを見て、タイル Tile (1, 1) にはさらに調査できる特性があるかもしれないと痛感しました。

正しい方向を見つけると、すべてが明らかになるようです。彼らは、最終的な答えがすぐ近くにあることを発見しました。つまり、タイルを配置するために移動と回転のみを使用できるようにすると、タイル (1, 1) は非周期的になる可能性があるのです。

タイル (1, 1) が最初は成功しなかった理由は、帽子の形状と同じ構成にすることで鏡面対称を可能にしたためです。鏡面対称タイル (1, 1) の使用を制限すると、非周期的なテッセレーションを実際に実現できます。彼らはタイル(1, 1)を「弱カイラリティ保存非周期単一タイル」と呼んだ。なぜなら、鏡面対称のタイルを追加する必要がある場合、それは本質的に非周期的ではないはずだからです。これが「弱いキラリティー」の「弱い」の意味です。
これまでのところ、彼らは、鏡面対称性の助けを借りずに、回転と平行移動のみによって非周期的にタイルを敷くことができる単一の形状のタイルを実際に発見しました。

しかし、多くの数学者はまだ満足していませんでした。彼らは「強くカイラルな非周期的な単一タイル」を見つけようとしましたが、これは基本的に、たとえ鏡映対称のタイルを追加できたとしても、それを使用できないことを意味します。平面を密にタイル張りするには、単一のカイラリティのタイルのみを使用でき、これらは必然的に非周期的になります。彼らは、Tile (1, 1) の正辺の便利な性質を利用し、その辺を下図のように巧みに変更して Spectre を作成しました。

画像出典：参考文献[3]

「ゴースト」が条件を満たしていることを証明するために、当初は「ゴースト」はこれまでの帽子やカメのように多角形ではないため、計算を行うのは難しいだろうと考えていました。しかしジョセフは、ゴーストのタイルの配置は帽子とカメのタイルの配置と同等であり、凧のグリッドの美しく独立した世界で機能できることを発見しました。

上記のゴーストと帽子+カメの組み合わせの同等性を示します。丨画像ソース: キラル非周期モノタイル (uwaterloo.ca) [ビデオを見るには、「Fanpu」パブリックアカウントにアクセスしてください]

彼らは、ゴーストを階層的な置換システムに組み合わせることができることを示しています。つまり、ゴーストによって形成されるタイリングでは、各ゴーストは、一意で、次第に大きくなるスーパータイルの無限の階層に含まれています。スーパーブロックは、特定のルールに従って複数の「ゴースト」を組み合わせることによって形成される、より大きな形状です。この階層的な置換システムにより、ゴーストが非周期的であることが保証されます。つまり、繰り返し単位を持つタイリングを形成することは不可能です。
ここでの「オルタナティブタイリング」技術の厳密な定義は、この分野の専門家にとっても明確に表現するのが難しいものですが、その本質的な考え方は非常に理解しやすいものです。つまり、一連のルールを使用して小さなブロックを大きなブロックにつなぎ合わせ、次に同じルールを使用して大きなブロックをつなぎ合わせる、というようにして、最終的に平面全体を覆うパターンを形成します。非周期的なテッセレーションを定義するために、代替タイリングが使用されることもあります。

複数の小さなタイルを使用して同様の大きなタイルを作成する、タイリング技術の代替手段。丨画像ソース: arXiv:
https://arxiv.org/abs/2305.17743。

4人のメンバーからなるチームは、自分たちが解決したばかりの問題を「ヴァンパイア・アインシュタイン問題」と名付けました。これはどういう意味ですか？
Vampire の本来の意味は吸血鬼です。吸血鬼は鏡に自分の姿が映らないと言われています。したがって、上記の気の利いた発言は「鏡のないアインシュタインの問題」と解釈されます。

考察と補足

デイビッド・スミス氏らによる論文は最近提出されたばかりで、その正確性を証明するには厳密な審査にまだ時間がかかる。しかし、特定のオブジェクトを直接構築するこのような数学的な研究では、正しいかどうかを短期間で判断できる場合がよくあります。今では数学界も彼らの結論を認めたようだ。

3月末に彼らがアインシュタインの問題に関する最初の論文を発表すると、早くも大きな注目を集めた。フォロワーには数学者だけでなく、芸術家も多数います。グラフィックデザインアーティストやパズル愛好家に加えて、非周期的なテッセレーションを実現するアルゴリズムをメロディーに変換し、新しい形式の音楽を試みる作曲家もいます。

2023年7月20日、アイルランドの有名ビールブランド「ホワイトハグ」が、非周期的なタイルの「帽子」デザインでパッケージされたビール缶を発売したことを知って驚きました。

この幅広い注目は、最終的に数学の発展に予期せぬ利益をもたらしました。最終的な証明は、日本の芸術家荒木良明の作品に触発されたものでした。

さて、論文の著者以外で最も幸せなのは、この日本人アーティストです。論文が発表された翌日、数人の著者が謝辞に彼の名前を入れてくれたので、彼はとても喜んで論文のスクリーンショットをソーシャルメディアで共有した。

もう一つ考えるべきことは、この数学上の大きな進歩においてアマチュア数学者のデイビッド・スミスが果たした重要な役割である。

実際、コラージュ幾何学の分野でアマチュアが大きな進歩を遂げたのはこれが初めてではありません。郵便仕分け作業員のロバート・アマンは、1970 年代にいくつかの非周期的なタイリングを独自に発見し、さらにアマンバーと呼ばれる非周期的なタイリングを生成する体系的な方法も発見しました。 1975 年、カリフォルニアの主婦マージョリー・ライスが五角形のタイルの新しいファミリーを発見しました。そして、ジョーン・テイラーは、ソコラー・テイラー・タイルとして知られるようになったものを発見しました。

ある数学者は、数学の特定の分野（ここでの「特定の数学」は「応用数学」に似た用語で、カテゴリです。直感的にわかり、コンピュータに関連する数学的内容を指します）において、アマチュアとプロの数学者との最大の違いは、前者は「問題がどれだけ難しいかを知る必要がない」ため、予期せぬ素晴らしい発見ができるということだろうと冗談を言ったほどです。

ここで、皆さんに考えてほしい質問を残しておきます。これは、基本的に数学の知識を必要とせずに解決できる、古典的なドミノタイル問題です。

最後に、テッセレーションについてはさらに詳しく説明します。たとえば、今回は非周期的なテッセレーションに焦点を当てていますが、周期的なテッセレーションが重要でないトピックであることを意味するわけではありません。 2015 年になってようやく、数学者はコンピューターを使用して、周期的にモザイク状に分割できる 15 番目で最後の五角形を発見し、周期的な単一モザイク状多角形をすべて見つけました。

周期的なテッセレーションと非周期的なテッセレーションは、有理数と無理数のようなものです。確かに有理数は無理数よりも単純ですが、まだ探求すべき未知の内容が数多く残っています。

平面テッセレーションに加えて、高次元空間における非周期テッセレーションにも注目すべき結果が数多くあります。例えば、2022年11月、テレンス・タオとレイチェル・グリーンフェルドは、高次元空間における「周期的モザイク予想」を覆したと発表しました。アインシュタイン問題牌には、いわゆる３次元アインシュタイン問題牌（下図参照）も存在します。

画像出典: Socolar–Taylor タイル Wikipedia

非周期的テッセレーションは、オートマトン理論、組合せ数学、離散幾何学、力学システム、群論、調和解析、数論、結晶学、化学など、数学の多くの分野で重要な応用と研究価値があります。結晶と化学における準結晶の最も有名な応用は、準結晶の構造と特性に対する理論的な数学的および物理的な説明を提供することです。 (後から考えれば、非周期的なタイリングによって準結晶の存在が明らかになったとも言えるでしょう。ただ、自然界で発見されるまで誰もそれに気づかなかっただけです。) 非周期的なタイリングと準結晶の関係は、数学、物理学、化学、材料などにまたがる興味深いトピックです。

参考文献

[1] 数学愛好家が、見つけにくい「アインシュタイン」タイルを発見 |クアンタマガジン

[2] クレイグ・S・カプラン (@[email protected]) - Mathstodon

[3] アキラル非周期モノタイル、https://arxiv.org/abs/2305.17743

[4] 非周期的モノタイル、https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf

[5] デビッド・スミスが使用したソフトウェア（PolyForm Puzzle Solver（jaapsch.net））：
https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm

[6] クレイグ・S・カプランが共有したツール：
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/

この記事をレビューし、訂正してくださったカリフォルニア工科大学数学科の Yi Ni 教授に感謝いたします。

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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