スポーツウォッチはどのようにして高度を知るのでしょうか?

「地球はなんて厚いんだろう、空はなんて高いんだろう/地球はなんて厚いんだろう、空はなんて高いんだろう/星は瞬いている/月は疑問符を描いている/彗星は長い尾を引いている/虹は橋を架けている...」

「ブルーキャットの三千の質問」の主題歌を覚えている人はいますか？年齢を明かしてしまいましたか？子どもの頃、「空はどれくらい高いのか、地球はどれくらい厚いのか」ということに興味がありましたか？

普段ハイキングのときにスポーツウォッチを着用している場合、ハイキング中、時計が常に自分の高度を把握しているように感じるかもしれません。これはどうやって実現するのでしょうか?

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物理学と幾何学

高さを測定する方法は物理的方法と幾何学的方法の 2 つがあります。まず物理的な考え方についてお話ししましょう。

2 つの場所に立って異なる重力を計測した場合、それは 2 つの場所が地球の中心 (重心) から異なる距離にある、つまり異なる高さにあることを意味します。

このような物理的な考え方は、少しロマンチックに聞こえるかもしれませんが、普通の人にとって、その実用的な価値はほぼゼロです。

幾何学的思考は古代から現代まで広く利用されてきました。 1 つまたは複数の観測点を選択し、さまざまな角度、辺の長さ、距離を測定して適切な三角形を作成することで、高さを計算できます。今では衛星測位システム（これも幾何学的なアイデアです）がありますが、エベレスト山などの山の高さを測定するのに、今でもこの方法が使われています。

エベレスト山の測定。画像出典: Visual Planet 「エベレスト山の高さはどうやって測るの？」

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衛星あり vs. 衛星なし

地球が球体であることがわかり、より大規模な測定が行われるようになると、状況は変化しました。データは地面の曲率と空気密度の変化によって生じる光の屈折の偏差に合わせて調整する必要がありました。さらに厄介なのは、まったく測定できない場所もあることです。たとえば、島を測定したい場合、あまり遠くに立つと、島は地平線の下に沈んでしまいます。もっと近づきたいなら、陸地はありません。

地球の周りを偏心軌道で周回する宇宙衛星。著作権画像、転載禁止

その後、空は高くなり、衛星のおかげで地球の全体像が見えるようになり、スポーツウォッチで高度を知ることもできるようになりました。

従来の地上測定とは異なり、衛星測位システムでは空間の直交座標系が必要となるため、空間内の任意の位置を座標で表現できます。この座標系では、原点は地球の中心、Z軸は地球の自転軸（地軸の動きが平均化される）、X軸は子午線を指し、Y軸は数学の先生が教える右手法によって決定されます（下図参照）。したがって、 4 つの異なる衛星までの距離を測定すれば、現在地の座標を計算し、その他の有用なデータを推測することができます。

地図: 徐景中

このように、衛星測位システムは確かに元々の地表および長距離の問題を解決しましたが、宇宙空間における衛星の正確な位置をどのように知るかという新たな問題が発生しました。あなたと衛星の間の距離を正確に測定するにはどうすればよいでしょうか?

正確さを期すためには、まず地上と衛星が使用する時間が一致していなければなりません。具体的な時間と 1 秒の長さは同じである必要がありますが、地上の時間は地球の自転に基づいており、衛星が原子を使用する場合はこれを調整する必要があります。また、衛星は私たちから非常に遠く、非常に速く飛んでいるため、時間の経過速度は地球表面とは異なります。そのため、アインシュタインの相対性理論に従って補正を行う必要があります。次に、多くの物理的パラメータを含む衛星の軌道を正確に計算する必要があります。そうすると、空気の密度の違いが電磁波に与える影響は依然として存在し、距離を測定する際に考慮する必要があります。また、衛星信号受信機自体が電磁干渉の影響を受ける場合があり、ソフトウェアの計算上の問題によってもエラーが発生する場合があります。

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実際、衛星測位システムの測定精度は、従来の地上測定よりも高くない可能性があります。したがって、要求の高い測定では、2 種類のデータを相互に補正できるように、航空ネットワーク (衛星システム) と地上ネットワーク (補助測位用の地上基地局) を組み合わせる必要があります。

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衛星測位と地図

実際のアプリケーションでは、空間座標の値を地図上の位置に変換する必要があります。つまり、各ポイントに対応する経度、緯度、高度を持たせる必要があります。

地図: 徐景中

球面上の点の経度と緯度を決定することは難しくありません (上の図を参照) が、高度を決定することはそれほど簡単ではありません。問題は高さがどこから始まるかということだからです。

海面を高さの出発点として使用し、この基準の高さを地球全体に拡張すると考えるのは簡単です。はい、中国は長い間黄海の干満を観測しており、平均海面を高度測定の出発点であるゼロ高度として計算しています。

しかし、地球は完全な球体ではなく、少し平らであり、基準となる海面は地球に最も近い形状に合わせて延長する必要があり、この形状は数学的に表現できなければなりません。人類は熟考の末、楕円体を選択しました。

海から乾燥した土を取り除く

私の国の北斗システムは 2000 年の国家測地座標系を使用しており、地球楕円体のデフォルトの長軸は 6378137 メートル、短軸は 6356752.31414 メートルです。さて、経度と緯度を決定するには、下の図に示すように、球体よりも少し複雑なこの楕円体も使用する必要があります。

地図: 徐景中

そうです、黄海の標高を楕円体全体に拡張するだけで、あなたの位置から楕円体表面までの垂直距離が高度になります。スポーツウォッチは本当にこのように計算されるのでしょうか?まだです。衛星測位システムではこの黄海標高拡張楕円体は使用されていないためです。

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不均一な海面

考えてみてください。なぜ海面を高さの起点として使用するのでしょうか?水面は重力が等しい表面を表すことができるからです。

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地球の重力分布は均一ではないことが分かっており、そのため地球全体の海面（学名：ジオイド）は重力の影響で高かったり低かったりしており、規則的な球体ではありません。最も正確な高度を知りたい場合は、その地点から海面までの垂直距離になります。しかし、不均一なジオイドは数学的に表現することができず、衛星測位システムでは使用されません。

画像出典: 「地図作成の基本のまとめ - 地図の管理基準」

では、衛星測位システムは高度の出発点として何を使用するのでしょうか?前述のように、北斗システムが使用する 2000 年の国家測地座標系には、地球の高度を計算するための出発点となる楕円体 (学名: 基準楕円体) が含まれています。

地図: 徐景中

このような楕円体を設定した理由は、長年の研究と測定の結果、それが地球の形状と最も一致し、地球の平均水位を表すことができることが判明したためです。明らかに、我が国の黄海の拡大標高面と同等ではありません。

衛星測位システムによる測定と純粋な高度の比較。地図: 徐景中

これで、スポーツウォッチの表示など、衛星測位システムを通じて測定する高度は、上の図の左側にある楕円体の高さであることが分かりました。上の写真の右側にある標高（純粋な高度）については、実際のジオイドがどこにあるかを知っておく必要があります。海面は水面と一致しますが、陸地部分（特に山岳部）ではこの表面は見えず、見つけるのが困難です。そのため、中国は黄海の標高を陸地全体に拡大し、それを高度0とみなして近似的なジオイドを形成している。日常生活で目にする地図や地理標識に記された高さは、この出発点を基準としたおおよその高度です。

参考文献:

[1] GPSの原理と受信機の設計、謝剛、電子工業出版社、2017.1

著者: Xu Jingzhong と Fan Qi

レビュー｜中国科学院航空宇宙情報イノベーション研究所 シニアエンジニア 劉松川

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