対数: すべての天文学者が感謝すべき数学的発見

対数表は何世紀にもわたって科学者やエンジニアにとって非常に便利なツールとなってきました。今日、対数は指数関数と密接な関係があるため、数学的に大きな魅力を保っています。

リチャード・エルウィス

翻訳 |チー・ルイホン、ファン・チャオ、ユー・ファン

長年にわたり、多くの人が掛け算や割り算の計算をしやすくするために対数表を手元に置いておく習慣を身につけてきました。 20 世紀後半には、携帯型計算機の登場により、対数表はついに歴史の中に埋もれてしまいました。しかし、級数と微積分という数学の奥深い領域におけるこの魅力的な発見により、対数そのものが決して時代遅れになることはなかったのです。

16 世紀後半、ジョン・ネイピアは当初「人工数」と呼んでいた数字の研究を始めました。彼は、複雑な乗算演算をかなり単純な加算演算に変換する方法を発見しました。 4587 と 1962 のような 2 つの数字の積を求めるために、彼はまず 2 つの数字の人工数を計算し、その合計を求めました。次に、これら 2 つの人工数の合計に対して逆人工数演算を実行します。つまり、元の数をその人工数がこの合計になるように計算します。このプロセスには乗算は含まれませんが、結果は元の 2 つの数値の積、つまり 8,999,694 になります。

地震計は地震の強さを測定するために使用されます。地震の強さを測るために国際的に使用されているリヒターマグニチュードスケールは対数です。つまり、マグニチュード 3 と測定された地震は、マグニチュード 2 と測定された地震の 10 倍の強さです。

ネイピアの対数

すぐにネイピアは人工的な数字に新しい、より良い名前「対数」を与えました。今日では、対数は指数の逆数に過ぎないことが分かっています。指数とは、ある数をその数自身で繰り返し掛け算することを指します。したがって、「2 の 3 乗」は 2 を 3 回掛け算することを意味します。

ブリッグスの対数表

ジョン・ネイピアが対数を発明してすぐに、ヘンリー・ブリッグスはそれを便利なツールに変え始めました。数値を表すのに 10 進法が使用されるため、ブリッグスは対数の底として 10 進法を使用することを選択し、1 から 1000 までのすべての整数の対数を表す「対数表」の作成に着手しました。その後数年間で、ブリッグスと他の数学者は、この表をより大きな数値セットに一般化しました。

もちろん、ほとんどの整数の場合、その対数は整数ではないため、研究者は見つけた対数にある程度の精度を与える必要があります。 18 世紀後半、ガスパール・ド・プロニーは、200,000 までの正の整数の対数を小数点第 19 位まで (より大きな数値の場合は第 24 位まで) 正確に収録した、17 冊の大型の二巻本からなる並外れた数学表のセットの製作を監督しました。

ジョン・ネイピアの 1614 年の論文「素晴らしい対数表の説明」で使用された最も古い対数表の 1 つ。ジョン・ネイピアは「自然対数」として知られるようになった対数を研究し、ヘンリー・ブリッグスは「常用対数」として知られるようになった 10 を底とする対数を研究しました。

自然対数

対数はネイピアによって発見されて以来、数学者にとって非常に役立っています。天才科学者ピエール・シモン・ラプラスはこう言いました。「対数の発見は労力を節約し、天文学者の寿命を2倍にした。」しかし、対数の数学的意義は、計算ツールとしての使用よりも重要かつ広範囲にわたります。これは 1650 年にピエトロ メンゴリによって初めて実現されました。彼の級数に関する研究は、予期せず対数への関心と結びつきました。

この交代級数には明確な限界があり、それはおよそ 0.693147 に等しくなります。マンゴリは、この極限数は 2 の自然対数 (通常は In2 と表記されるが、log2 と読みます) であることを証明しました。自然対数は他の対数と似ていますが、底 e が特別に選択され、それが約 2.71828 である点が異なります。実際、自然対数とマンゴリの結論を通じて、数学で最も重要な関数の 1 つである指数関数が注目されるようになりました。

実際、より正確な対数表の探索は、抽象級数の理論の発展に大きな推進力を与えました。 1668 年、ニコラウス・メルカトルは『対数技法について』という著作を出版し、その中で自然対数の級数公式を発見しました。

この美しい定理は、Mangoli の結果を一般化したものであって、x=1 という特殊なケースに対応します。

微積分と対数

メルカトルの定理は自然対数の「自然さ」を示唆しましたが、ニュートンとライプニッツの微積分によってより詳しい話が語られます。

この記事は、『図解数学史: 数学の世界で知っておくべき 100 の大きなブレークスルー』の第 26 章「対数」から抜粋することを許可されています。

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