「握手」の問題は、実は方程式で解くことができます。

数学は言語であり、方程式はその基本的な表現形式です。私たちは皆、宇宙が特定の法則に従って機能していることを知っています。私たちはそれを科学と呼び、これらの法則を数学の言語を使って説明します。これらの法則を数学的な言語で表現すると、方程式になります。銀河の形成から子供の鼻のそばかすの模様まで、世界のあらゆるものはこれらの方程式に関係しています。好むと好まざるとに関わらず、本能に従って行動する人であろうと、秩序や細部に注意を払う人であろうと、人生のあらゆる側面は方程式によって支配されています。方程式はあなたがそれを理解しているかどうかに関係なく、あなたの周りのすべてを制御します。さあ、数学の世界をもっとよく知るときが来ました。 「ハンドシェイク」の問題も方程式で解決できます。

あなたは国家首脳会議の公式カメラマンであり、被写体を最高の状態で撮影する専門家です。主催者側としては、握手の写真をできるだけたくさん撮っていただくようお願いしております。しかし、ここで問題があります。最後の2人の国家元首はあと1時間は到着しない。自尊心が強く、注目を浴びようとする二人の道化師です。彼らの髪型は紛らわしい。政治的立場はさらに疑問だ。他の100カ国の首脳は誰も握手に応じなかった。彼らが到着したら、すべての国家元首は握手をやめるでしょう。その前に、握手しているリーダーたち全員の写真を撮る時間はありましたか？

握手問題は数学で広く研究されている分野であり、それを解決するためのさまざまな興味深い方法でよく知られています。この課題を解決するには、合計で何枚の写真を撮る必要があるかを知っておくと役立ちます。次のグループの人々を見て、何回握手する必要があるかを見てみましょう。

アンナがボブに挨拶するので、今のところ握手は1回だけです。

カラはここにいます。彼女はアンナとボブと握手する必要があるので、握手の回数は 2 回増えます。

ディエゴが来ました。彼はアンナ、ボブ、カラと握​​手する必要があるため、握手の回数は 3 回増加します。

エディスが来たとき、彼女は4回の握手を必要としました。等々。例えば、25 人目が来たら、すでにそこにいる 24 人と握手する必要があります。 n 番目の人は到着した n-1 番目の人と握手しなければなりません。したがって、100 人と握手するのに必要な握手回数を計算するには、1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99 を計算する必要があります。

ここでは単に計算機を使って時間を費やすこともできますが、連続する整数を加算することは、もう 1 つの古くからある数学の問題です。この問題を解決する 1 つの方法は、点で構成された三角形を使用することです。 5 人の人がいて、1 + 2 + 3 + 4 回握手する必要がある場合、これを三角格子で表すことができます。

三角形内の点の数を求める式が必要です。

長方形内の点の数は比較的簡単に数えられるので、同じ数の点を持つ三角形を追加すると、幅 4 ポイント、高さ 5 ポイントの長方形が得られます。

長方形には 4 × 5 = 20 個の点があるので、各三角形には 20 ÷ 2 = 10 個の点があることになります。要約すると、三角形に r 列がある場合、そのような三角形 2 つで構成される長方形には r + 1 行があることがわかります。これは長方形内に r × (r + 1) 個の点があることを意味します。元の三角形の頂点の数を計算するには、これを半分にして次の式を得る必要があります。

数学者は、その公式とその背後にある物語に非常に精通しています。 1700 年代後半、ドイツの数学の天才カール・ガウスが学生だったとき、先生は彼に 1 から 100 までのすべての数字を足しなさいという課題を与えました。伝説によると、ガウスはこの近道を発見し、その場で問題を解いたため、怠惰な先生は憤慨し、当惑したそうです。ガウスは後に最も偉大な数学者の一人となった。

n 人が握手する場合、握手ラウンドの回数は総人数より 1 少ない必要があるため、r = n–1 ラウンドが必要です。式のrにn-1を代入すると次のようになります。

結果は 4,950 回のハンドシェイクに相当します。これらの写真の撮影にはそれぞれ 10 秒しかかからないと予想されますが、合計では 49,500 秒、つまり 13 時間 45 分かかります。したがって、1 時間ですべての写真を撮ることは不可能です。しかし、会議センターがあなたをここに招待したのは、あなたには何もできないと言うことを聞くためではありません。何ができるか見てみましょう。

世界記録を樹立した大統領

1907 年の元旦、セオドア・ルーズベルト大統領はホワイトハウスで一般公開を開催し、国民がリーダーに会えるようにしました。ホワイトハウスの扉が閉まるまでに、ルーズベルトは8,513人と握手した。これにより、1日あたりの握手回数の世界記録が樹立され、この記録はその後60年近く破られることなく続いた。最も長い握手の記録は、2011年に「握手族」として知られる2組の人々によって樹立され、33時間3分後に握手が行われた。

最初に、国家元首同士の最初の握手の写真を撮ったとします。 100 人の場合、50 回の握手を撮影するのに 500 秒かかります。では、残された時間で何人の人物の全身写真を撮れるか試してみましょう。写真を撮るのにかかる時間は、握手の回数に 10 秒を掛けた時間なので、次のようになります。

時間は 1 時間なので、60 × 60 = 3,600 秒です。全員が少なくとも 1 枚の写真を確実に撮れるようにするために 500 秒を費やしましたが、残りは 3,100 秒です。解くべき方程式は3,100 = 5 (n–1)nです。

まず、方程式の両辺を 5 で割ります。

620 = (n–1)n

次に括弧を展開します。

このタイプの方程式は、未知数 n が平方の形になっているため、二次方程式と呼ばれます。このタイプの方程式は線形方程式ほど簡単には解けませんが、方程式を一辺がゼロになる形に変換できれば、二次方程式の根号式を使用できます (概要を参照)。方程式の片辺がゼロになるようにするには、両辺から 620 を引きます。

結果は正の数となり、小数点第 1 位に丸められ、n = 25.4 になります。つまり、25 人が握手している写真を撮るには、5 × 24 × 25 = 3,000 秒かかります。残り 100 秒で、さらに 10 枚の写真を撮ったり、額の汗を拭いたりすることができます。

国家元首が握手するすべての瞬間を示す図を描くこともできます。 100 人の国家元首を円上の点として考え、点と点を結ぶ線で握手を表すと、複雑な図が描けます。この画像は、古い教会の丸いバラのステンドグラスの窓に少し似ていることから、「神秘的なバラ」と呼ばれています。本当に驚くべきことは、グラフが完全に直線で構成されているにもかかわらず、同心円や曲線があるように見えることです。以下は、Edward L. Platt が自身の Web サイトで Mystic Rose Generator を使用して作成した、25 人の握手するバラの図です。

ミスティック ローズはあなたの問題の解決にはあまり役立ちませんが、見た目は素晴らしいです。

主催者はあなたの解決策に非常に満足しています。目を引く大きなヘリコプターと高級車の一団が会場の外に到着すると、あなたのミッションは達成されます。

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