蛇年に生まれた人のほとんどはなぜこのように見えませんか？これは実は3番目の数学の危機に関係しています...

制作：中国科学普及協会

著者: 劉文金

プロデューサー: 中国科学博覧会

2025年は旧暦では蛇年であり、例年通り雑誌やカレンダーの表紙には蛇が舞う姿が多く見られるでしょう。

ほとんどのネットユーザーは、ヘビを見ると頭皮がチクチクし、足がすくんでしまうのを感じるだろう。例えば、写真を投稿したい場合、ネットワークケーブルを伝って家の中に入ってくるのではないかと疑われるかもしれないので、まずは警告信号を出しましょう。

徐悲鴻の中国絵画「十二支：蛇」

しかし、中国の伝統文化では、十二支の蛇のイメージを描く際に、「ウロボロス」のイメージではなく、上に示した「とぐろを巻いた蛇」や「踊る金色の蛇」の形がよく使われていることは、感謝する価値があります。

ウロボロスのシンボル：始まりも終わりもない因果の悪循環

「ウロボロス」は非常に古いシンボルであり、古代エジプト、ギリシャ、インドの文明において豊かな象徴的な意味を持っています。また、西アフリカや中央アメリカの宗教的な描写にもよく見られ、主に「無限と循環」、「世界の混沌」、「太陽」または「母」を表します。具体的な形状は、蛇/龍が自分の尾を飲み込んで円を形成したもので、時には「8」や「∞」の形で表示されます。

ツタンカーメンの石棺の外側に描かれたウロボロスの模様（紀元前1300年）

(写真提供: egypttoursportal)

錬金術のテキストに出てくるウロボロスの図（1478 年）

(画像出典: thelemapedia)

5000〜6000年前の中国の紅山文化にも、同様の象徴的なイメージがありました。

紅山文化の代表的な文化遺産、玉猪龍

（写真提供：中国台北国立故宮博物院公式サイト）

現代科学においても、自らを味わう勇気を持つこのヘビは大きな貢献を果たしています。世界的に有名な理論物理学者でありノーベル賞受賞者のシェルドン・グラショーは、ミクロレベルの粒子とマクロレベルの粒子の統一を表すために、このシンボルにしばしばスケールを付けています。

(画像出典: グラショー著『物理学の魅力』)

化学の歴史において、ウロボロスは奇跡を起こしてきました。1864年、ドイツの化学者ケクレはウロボロスの形をしたリングを夢見、それがベンゼンプロジェクトを探求するきっかけとなりました。結局、私が夢で見た通り、ベンゼン分子は端から端までつながった 6 個の炭素原子で構成されており、非常に安定した構造を形成していることがわかりました。

ベンゼンの構造は化学の本でよく取り上げられています

(画像出典: chm.bris.ac.uk)

化学者がヘテロ芳香族物質を合成する際、ウロボロスによって達成される環異性体構造が最も安定していることも発見しました。

(画像出典: sciencedirect)

…

話題に戻りましょう。なぜ、こんなにも古くからある不思議なイメージの「ウロボロス」が十二支に採用されなかったのでしょうか。それは、幸運の象徴なのかもしれません。

自分自身を食べるヘビは存在するべきでしょうか?

ウロボロスの画像を数秒間見つめていると、いくつかの疑問が自然に頭に浮かぶでしょう。摩擦や自身の体積、窒息の可能性を考慮せずに蛇が食べ続けるとしたら、最終的にどの程度飲み込むことになるのでしょうか。胃だけが残るまで消化されるのでしょうか？これは貪欲な創造なのか、それとも破壊なのか？

これらの一見不合理な質問は、何の答えも得られないまま、年初から年末まであなたを悩ませるかもしれません。実際、数え切れないほど多くの人々がこの疑問を提起してきましたが、意味のある答えは得られていません。

正しいことは無意味だ。いくつかの質問は真剣な質問のように思えますが、その答えはほとんど真剣な答えではありません。ウロボロスが自分自身を貪り食うというイメージは、数学、哲学、論理学、言語学、認知科学、コンピューターサイエンスによく見られるパラドックス、つまり自己言及の比喩でもあります。

簡単に言えば、何かがそれ自身を説明することを自己参照と呼びます。逆説的ですが、私たちの日常の認識では、自己言及的な状況はしばしば非常に「合理的」であるように見えます。

嘘つきのパラドックス：「私が今言っていることは嘘だ。」

この文の真偽を検討すると、ジレンマに陥ります。この文が真であると仮定すると、その意味論によれば、偽であると言えます。この文が偽であると仮定すると、その意味は「それが何であるか」となるため、真であると言えます。このようにして、矛盾の同値性が構築されます。

もう一つの実際の例を見てみましょう。下の標識には「道路標識は使用されていません」と書かれていますが、実際には標識の役割を遂行するために道路脇に立っているため、別の矛盾が生じています。

「標識は使用されていません」

（画像出典：インターネット）

なぜこのようなパラドックスが起こるのでしょうか?アメリカ芸術科学アカデミーの会員であり、有名な認知科学者でもあるホフスタッター氏は次のように説明している。 「自己言及の奇妙さは、システムが予期せぬ回路のねじれを通じて「自らを食い尽くす」方法から生じ、私たちが侵害できないと信じている階層秩序を激しく侵害するのです。」

上の写真の道路標識を例に挙げてみましょう。道路標識が穴などの他の物体を指している場合、私たちの直感では、道路標識と穴は 2 つのレベルにあり、前者は後者よりも「高い」と感じます。しかし、道路標識がそれ自体を指し示す場合、この秩序は崩れます。道路標識とテキストは明らかに同じオブジェクトを指していますが、それぞれが他よりも高いレベルにあります。これは、右足で左足を踏み、次に左足で右足を踏み、一歩一歩成功を達成するようなものです。論理的な亀裂が生じます。

オランダの画家エッシャーの「手描きの手」は、自己言及的な絵画の典型である。

（写真提供：BYU美術館公式ウェブサイト）

自己言及は数学における第三の危機をもたらしたのでしょうか?

さて、（恐ろしい）数学に注目してみましょう。

紀元前400年の古代ギリシャ時代から現代に至るまで、人類は合計3回の数学的危機を経験してきました。そのいずれも数学の根幹を揺るがすものでしたが、同時に、数学の発展の歴史における重要な転換点でもありました。

これらの危機はすべて「無限」に関連しています。最初の危機は「無限」、つまり無理数に関するものでした。 2 番目の危機は「無限に小さい」微積分に関するものでした。そして、3 番目の数学的危機は、自己参照によって引き起こされた「集合論におけるパラドックス危機」であり、これは「無限ループ」として理解できます。

その中で、第三の数学の危機の背景は次の通りでした。19世紀末から20世紀初頭にかけて、数学者たちはすべての数学を論理によって導き出すという非常に壮大なアイデアを抱きました。

胡作軒による第三の数学危機

これをどう理解しますか?簡単に言えば、彼らは数学はいくつかの耐荷重柱、つまり「いくつかの公理」を必要とする建物のようなものだと信じています。これらの公理の演繹規則に従って、他の数学定理を導き出すことができ、数学全体が厳密な演繹構造に構築されます。そのため、20 世紀の論理研究は大幅に数学化され、そこから開発された論理は「数理論理学」と呼ばれました。

数学者はなぜこんなことをするのでしょうか?不安だから！ある日突然、数学が危機に陥り、誰も解けなくなるかもしれないので、数学体系の信頼性を永久に証明する方法を見つけなければなりません。

非常に複雑な数学システムのマインドマップ

(画像出典: Pieces of Math)

フレーゲという数学者がこの偉業をほぼ達成しました。彼は研究の中で、すべての算術概念は論理概念の助けを借りて定義でき、すべての算術法則は論理法則の助けを借りて証明できることを発見し、それによって予備的な自己完結的な論理計算システムを形成しました。

このシステムの基礎となるのは「集合論」です。集合論とは、集合、要素、メンバー関係などの最も基本的な数学的概念を含む、集合（一連の抽象的なオブジェクトで構成される全体）を研究する数学理論です。その基本的な概念は数学のあらゆる分野に浸透しています。

集合論は現代数学の基礎の一つである

(画像出典: Bing)

フレーゲに戻ると、彼は非の打ちどころがなく、一見完璧に見える数学の体系を説明した本を興奮気味に書いた。

その本は出版されようとしていたが、そのとき「しかし」が起こった。数学者バートランド・ラッセルは集合論におけるパラドックスを発見した。具体的な説明は、「それ自身を含まないすべての集合からなる集合は、それ自身を含むか？」です。

それが自分自身に属する場合、定義により、その要素は自分自身に属さない集合であるため、それは自分自身に属するべきではありません。しかし、それが自分自身に属していない場合、それは要素であるための条件を満たしており、自分自身に属するべきであると思われます。

この矛盾した記述は、解決不可能な論理循環のように、当時の数学者を深い混乱に陥れた。フレーゲは本のあとがきで無力感に襲われながらこう述べている。「ラッセルのパラドックスは私を絶望的な状況に追い込んだ。」

ラッセルのパラドックス

(画像出典: Bing)

ウロボロスの悪循環を排除し、確立された数学体系を守るために、ツェルメロやフランケルなどの数学者は、一連の公理と公理系を提案しました。彼らの公理によれば、B∈B について話すことは禁じられています。ラッセル自身も、いかなる文もそれ自身を参照することを防ぐための厳格な言語階層を設定することによって、新しい集合論を規定しました。

問題は解決できないので、存在しないことにしましょう。本質的に、これらの制限は真実を隠蔽するための手段に過ぎません。

議論の最後に、ゲーデルはほとんどの人が受け入れる結論を出しました。それは、数学の基礎そのものが不完全であり、数学的論理では解決できない問題もあるというものでした。 「不完全さ」を認めることは、科学の進化の歴史において非常に重要な節目であるとも言えます。

数学に加えて、コンピューター サイエンスの分野でも、自己参照は有名なチューリング停止問題につながります。科学者たちはまた、人間は常に自己参照的（内省など）だがシャットダウンには陥らないと推測しており、そのためコンピューターの自己参照の問題を克服することが人工知能への究極の近道になるかもしれない。

停止問題とは、任意のプログラムが有限時間内に完了できるかどうかを判断することです。

(画像出典: Bing)

歴史上、科学的なパラドックスの典型的な事例は数多くありますが、それらは大まかに 2 つのカテゴリに分けられます。

1 つのタイプは、議論の結果が不合理で直感に反しているように見えるが、実際には解決可能である、つまり「解決可能なパラドックス」です。

もう一つのタイプは、ウロボロスの無限ループ、つまり自己矛盾と無限ループのパラドックスです。このタイプは「解決不可能なパラドックス」のカテゴリに属します。既存の論理システムでは、理解して受け入れることしかできず、破壊することはできないようです。

しかし、多くの科学者は、解決不可能なパラドックスが将来の科学にとって重要な方向性を示すとも信じています。このパラドックスを解決すれば、すべてを変える「特異点」が訪れることになる。

参考文献:

[1] ホフスタッター『ゲーデル、エッシャー、バッハ：さまざまな壁のコレクション』コマーシャル・プレス、1997年

[2] 陳波ロジックとは何ですか?北京大学出版局、2015年

[3] プログラミングの仕方（2020年）、Ouroboros in Physics、https://blog.csdn.net/pilifeng1/article/details/103924438

[4] プログラミングの別の側面、(2024)、数学的危機、古典的パラドックス、https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/52674487

[5] Kelling J. Donald et Samuel Gillespie et Ziad Shafi、(2018) 、Ouroboros: Heterocycles Closed by dative σ Bond and Stabilized by π delocalization.Science Direct、https://doi.org/10.1016/j.tet.2018.11.058

[6] Knud Thomsen、(2016)、ウロボロス モデル、https://arxiv.org/pdf/0805.2815