動物や植物もフィボナッチ数列を理解しているのでしょうか？これは自然の進化の「隠れた技」なのでしょうか？

一般的に言えば、「高等小学校」を卒業した生徒は、おそらくフィボナッチ数列という数学の問題を聞いたことがあるでしょう。それで、この数学の問題はバイオメカニクスとどのように関係しているのでしょうか?まだ「美しい」ですか？ ！

実は長い間、数学と力学は切り離せない関係でしたが、現在では「近いようで遠い」「つながっている」という状態になっています。それはやりすぎだ！フィボナッチ数列の生体力学的美しさとその美しさに注目してみましょう。

1. フィボナッチ数列とは何ですか?

1. フィボナッチ数列の定義と生成規則

フィボナッチ数列は、中世イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（1175-1250）がウサギの出産の現象と法則を研究していたときに発見されました。ウサギのペア（オス1匹とメス1匹）が毎月1匹ずつ赤ちゃんウサギを産み（これもオス1匹とメス1匹と仮定、以下同様）、ウサギが生後2か月で繁殖でき、すべてのウサギが死なない場合、1年後に何組のウサギを繁殖させることができるでしょうか？生まれたばかりのウサギのペアを例に挙げてみましょう。図 1 から、月が経つにつれてウサギがどのように成長し、繁殖するかがわかります。

図1 ウサギは月日が経つにつれて成長し、繁殖する

最終的に、ウサギの総数は 1、1、2、3、5、8、13、21... という数列を形成します。これはフィボナッチ数列であり、「ウサギ数列」とも呼ばれます。この数列の生成規則は、3 番目の項から始まり、各項は数列の最初の 2 つの項の合計になります。たとえば、2=1+1、3=1+2、5=2+3、8=3+5... です。

2. フィボナッチ数列と黄金比の関係

黄金比とは、全体を 2 つに分割し、大きい部分と全体の比率が小さい部分と大きい部分の比率に等しくなることを意味します。この比率はおよそ 0.618 であり (図 2 を参照)、この数値の逆数は 1.618 です。それは完全な偶然ではないでしょうか?この比率は最も美しい比率として認識されているため、黄金比と呼ばれています (英語では、「golden XX」は、XX​​ の完璧で権威ある意味を表すためによく使用されます)。自然界や芸術作品によく登場し、美の象徴とされています。

図2 黄金分割線

それでは、フィボナッチ数列と黄金比の関係を見てみましょう。ここには非常に興味深い現象があります。フィボナッチ数列の隣接する 2 つの数値の比率をとると、項の数が増えるにつれて、前の項と次の項の比率が黄金比にどんどん近づいていくことがわかります。具体的には、フィボナッチ数列の 2 つの大きな連続する数字の比率を計算すると、その比率は黄金比に近づきます。たとえば、21/34 ≈ 0.6176、89/144 = 0.6181 となり、これは黄金比に非常に近くなります。そのため、フィボナッチ数列は黄金比数列とも呼ばれます。

私たちは皆「数えられる」人間ですが、この数を知ることにはどのような意味があるのでしょうか?

例えば、黄金比に関連する幾何学図形としては、「黄金長方形」や「黄金螺旋」などがあります。黄金長方形の長さと幅の比は黄金比です。つまり、長方形の短辺は長辺の 0.618 倍です。黄金長方形の 3 辺に正方形を作り、残りの部分も黄金長方形になります。次に、正方形と黄金比の長方形を順番に作成し、このプロセスを何度も繰り返します (図 3、左)...

図3 黄金長方形（左）と黄金螺旋（右）

黄金螺旋はフィボナッチ螺旋とも呼ばれ、フィボナッチ数列に基づいて描かれた螺旋です。作り方は、フィボナッチ数を辺とする正方形で構成された長方形（黄金比）に 90 度の扇形を描き、その弧をつなげたものがフィボナッチ螺旋です（図 3 右）。自然界には、最も完璧な黄金比を満たすフィボナッチ螺旋構造が数多く存在します (図 4)。これは自然の絶妙なデザインです。生物学では、パイナップルの花びらの数や表面の鱗の配置など、多くの動物や植物の成長過程はフィボナッチ数列の法則に従います。この現象は「フィボナッチ現象」と呼ばれ、自然界に普遍的に存在する法則です。

図4 自然界におけるさまざまなフィボナッチ螺旋構造

なぜこれらの動物や植物はフィボナッチ数列を「設計図」として選んだのでしょうか?この裏にはどんな科学的メカニズムが隠されているのでしょうか？とても偶然でとても美しいので、何か理由があるに違いありません。

3. 数学やその他の分野におけるフィボナッチ数の応用

数学の分野では、フィボナッチ数列が広く使用されています。黄金比のこの特性により、フィボナッチ数列は幾何学や芸術で広く使用されています。たとえば、黄金比の影は建築デザイン、絵画、彫刻に見られます。さらに、フィボナッチ数列は代数、組合せ数学、数論においても重要な応用があります。たとえば、代数学では、フィボナッチ数列の一般式は「再帰アルゴリズム」の典型的な例です。

組合せ数学では、多くの組合せ問題はフィボナッチ数列を解く問題に変換できます。数論では、フィボナッチ数列における素数の分布や、フィボナッチ数列のモジュラー演算特性などを研究します。

コンピュータ サイエンスでは、フィボナッチ数列を使用して、フィボナッチ検索やフィボナッチ ソートなどの効率的な検索およびソート アルゴリズムを実装できます。同時に、フィボナッチ数列は暗号化、データ圧縮などの分野でも広く使用されています。

金融分野では、フィボナッチ数列は株価や市場動向の分析にも使用されます。フィボナッチ リトレースメント レベルは、価格が反発または反転する可能性のあるポイントを識別するために使用される一般的なテクニカル分析ツールです。

詳しく見ていくと、長いリストになります。ここでは風のように通り過ぎます。さて、バイオメカニクスについてお話ししましょう。

2. フィボナッチ数列の生体力学的美しさ

自然界におけるフィボナッチ数列は驚くべき現象です。理由は何ですか？生体力学において。

まず、形態学という概念を理解しましょう。

形態学は生物の外部の形状と構造を研究する学問です。生物がどのように環境に適応し、その形態を通じて機能を達成するかに焦点を当てています。生体力学的な観点から見ると、動物や植物が形態学的特徴の基礎としてフィボナッチ数列を選択するのは、おそらく、長い自然選択の過程で、そのような構造が環境に適応しやすく、生存と繁殖の成功率を向上させることを発見したためであると考えられます。これは生存競争と最適化の結果です。これは、生物が成長、発達、環境への適応において最良の結果を達成するのに役立つ最適化戦略として理解できます。もちろん、これは単なる一般的な発言です。以下にその原理を詳しく説明します。形態学的な観点から見ると、安定性と適応性は、生物の形態と機能の2つの重要な側面であり、密接に関連しています。

安定性とは、生物が外部からの摂動を受けてもその形態と構造を維持する能力を指します。形態学では、安定性は生物の構造的な強度と剛性に関係することが多い。

適応性とは、生物が生存と繁殖の可能性を高めるために、生息環境やニーズに応じて形態や構造を調整する能力を指します。

形態学的には、適応は生物の形状と構造とその生息環境との適合として現れます。

（ １ ）フィボナッチ数列の力学的問題の強度の観点からの分析

フィボナッチ数列を採用することで、生物は構造の安定性を維持しながら、空間と資源を効率的かつ最適な方法で利用することができます。例えば、木の枝や葉の枝分かれの仕方はフィボナッチ数列（図5の枝の長さや直径などの幾何学的パラメータ）に準拠しており、木の幹は太い根元と枝分かれの構造によって風や重力の影響に抵抗し、全体的な安定性を保っています。

図5 樹木の枝の形態（左）とヒトの血管樹の形態（右）

植物構造に対する風の力の解析をシミュレートすることで、フィボナッチ数列が植物構造の安定性に与える影響を研究することができます。概念を単純化して明確に説明するために、力解析のために木の枝を片持ち梁としてシミュレートします (図 6)。片持ち梁（枝）が集中力を受けるか、均一に分布した風力を受けるかに関係なく、片持ち梁（枝）が受ける曲げモーメントは根元で最大になり、先端で最小になります。片持ち梁の断面サイズが等しい場合、結果として生じる応力分布も根元で最大になり、先端で最小になります。その結果、大きな力と不十分な強度により、根が簡単に折れてしまう可能性があります。このような状況を避けるために、枝の根元部分の直径は比較的大きく、根元から先端に向かって直径が徐々に小さくなります。枝がこれだけ長いと、誰にでも分かりやすいですね。これはフィボナッチ数列を強さの観点から分析する力学の問題です。

図6: 力解析のために枝を片持ち梁としてシミュレートする

力の分析の観点から見ると、フィボナッチ数列が自然界に広く応用されていることも合理的です。この安定性は、木が過酷な環境で生き残るのに役立つだけでなく、安定した支えを提供し、木が上向きに成長し、枝や葉を広げて光合成を行うことを可能にします。

その視聴者は、すべての木の枝がこのように成長するわけではない、と言いました。 ！はい、枝の形状は他の要因（材質、外部環境など）によっても影響を受けます。これについてはここでは詳しく説明しません。木の枝の形状と同様に、人間の循環器系の血管樹も枝のような形状をしており、これもバイオメカニクスの原理（森の法則、等せん断応力の原理など）の影響を受けています。それはさておき、フィボナッチ数列の分析を続けましょう。

植物や動物では、ヒマワリの花びら、松ぼっくりの鱗、巻貝の殻など、多くの構造がフィボナッチ螺旋の形状を示しています。これらの螺旋形は美しいだけでなく、構造的にも優れた安定性を備えています。フィボナッチ数列の特性により、これらの螺旋形状は成長中に安定した形状を維持し、外部からの力の影響を効果的に分散させ、生物の生存能力を高めます。

ここで、ヒマワリの花びらに作用する力の単純化されたモデルを想像してみましょう。各花びらには 2 つの主な力が働いていると仮定します。1 つは花茎からの支持力、もう 1 つは隣接する花びらからの圧迫力です。理想的には、各花びらに均一な力が加われば、花全体の構造は非常に安定するはずです。ここでフィボナッチ数列が機能する仕組みは、花びらの数と配置に影響を与えることで、各花びらにかかる力に間接的に影響を与えるというものです。フィボナッチ数列の特性により、隣接する 2 つの花びらの間の角度 (花びらを花の中心の周囲に配置された点と見なした場合) は徐々に変化し、この変化は特定の法則に従います。このパターンにより、花びらごとに十分な成長スペースが確保され、同時に花全体の構造的安定性も確保されます。具体的には、外力（風や虫の接触など）が花に作用すると、その力は花びらの螺旋状の配置に沿って分散されます。フィボナッチ数列の特性により、この力は非常に均等に分散され、どの部分にも過度の圧力や張力がかかることはありません。それはまるで、緊密に結束した軍隊のように、すべての兵士が外部からの圧力を均等に分担し、チーム全体の安定性を維持できるのです。

興味があり能力のある友人は、構造トポロジー最適化設計の方法を使用して、ヒマワリの種の形がダイヤモンド型で、フィボナッチ螺旋状に分布している理由を計算してみることができます。数学と力学の観点から最適化した結果が、私たちが目にするひまわりの本当の姿なのです。

（ ２ ）剛性の観点から見たフィボナッチ数列の力学的問題の解析

葉の葉脈の分布は黄金比を示すことが多い。大連理工大学の郭旭教授のチームは、自然界における葉脈の黄金比分布の謎について徹底的な研究を行った。バイオニック研究における構造トポロジー最適化理論に基づき、葉の剛性を最大化する葉脈分布構成を探索しました（図7）。

図7 典型的な葉の最適な葉脈分布構成

研究では、主脈幹の第1節と第2節（A/B）がほぼ黄金比で分布している場合、葉の構造的剛性が最大になり、つまり葉の変形が最小になり、等価光面積が最大になり、葉肉組織の光合成効率が向上することがわかりました。上記の結果は、葉脈の分布が機械的性質の最適化によって推進された進化の結果であることを予備的に確認するものである。この研究結果は、葉脈の分布の謎を解明するだけでなく、アンテナやフレキシブル電子デバイスなどの補強板やシェル構造の設計に非常に有益な指針を提供します。

（ ３ ）動物のフィボナッチ数

多くの動物の骨格や筋肉の構造も、フィボナッチ数列に似た段階的かつ分岐した形状を呈しており、これは動物の運動効率を向上させるだけでなく、外部からの危害から動物を効果的に保護します。巻貝の殻は対数螺旋形を呈しており（図8左）、美しいだけでなく、構造的に極めて強い安定性も備えています。この対数螺旋構造は、外力による衝撃を受けた際に衝撃力を効果的に分散し、巻貝内部の軟組織を損傷から守ります。

図 8 巻貝（左）と猫（右）のフィボナッチ数列

動物の手足の骨や筋肉の構造もフィボナッチ数列の影響を受ける可能性があります。例えば、研究により、猫の四肢の骨の長さの比率はフィボナッチ数列に近いことが示されており（図8右）、この構造は動物の運動効率と安定性を向上させるのに役立つ可能性があります。運動中の動物に作用する力をシミュレートすることで、動物の運動の安定性に対するフィボナッチ数列の影響を研究することができ、動物が生存と競争において優位性を維持するのに役立ちます。生物組織の成長プロセスもフィボナッチ数列に従う可能性があります。たとえば、研究により、一部の細胞分裂パターンはフィボナッチ数列に従う可能性があり、この成長パターンは組織構造の安定性を維持するのに役立つ可能性があることが示されています (ちょうどウサギがウサギを産む順序のように)。細胞分裂中のストレス状態をシミュレートすることで、フィボナッチ数列が生物組織の成長安定性に与える影響を研究することができます。

（ ４ ）最小作用原理の観点からフィボナッチ数列の安定性を理解する

最小作用の原理は物理学における基本原理であり、ハミルトン原理としても知られ、古典力学における基本原理です。これは、自然界では、物理システムの進化は常に作用を最小化する経路をたどると述べています。静的または平衡状態において、この原理は最小位置エネルギーの原理と密接に関連しています。これは、システムが最小位置エネルギーの状態、つまり安定状態を求める傾向があるためです。

生物形態学では、この原理は、生物が進化の過程でエネルギー消費を最小限に抑え、資源利用を最大化し、環境の課題に対処できる形態戦略を選択することで説明できます。たとえば、ヒマワリの花びらはフィボナッチ数列に従った螺旋状に配置されており、これにより、花は開いたときに構造的な安定性を維持しながら最大限に広がることができると考えられます。この安定性は花を外部からのダメージから保護するのに役立ち、また花がより効率的に光合成できるようにします。たとえば、木の枝の構造や動物の骨格の形態は、曲げやねじれを減らすことで位置エネルギーを減らし、安定性を高めることができます。松ぼっくりの鱗やオウムガイの殻などの構造は優美な螺旋形を呈しており、これはエネルギー消費を最小限に抑え、構造的安定性を最大化することで進化したと考えられます。

（ ５ ）最小作用原理の観点からフィボナッチ数列の適応性を理解する

多くの生物の形状や構造は、花びらの数や松ぼっくりの鱗片の配置など、フィボナッチ数列の特徴を示しています。この数列の特徴は、隣接する 2 つの項の比率が徐々に黄金比に近づくことで、形状が視覚的に調和的になることです。この調和のとれた外見の美しさは目的ではなく、根本的な生体力学的美しさが理由です。実際、このフィボナッチ数列は、限られた空間内で花びらが最大限に広がるようにする空間充填戦略であり、それによって日光と光合成の量が最大化され、植物が成長と発達の過程で空間と資源を最も効率的に使用できるようになり、生存と繁殖の可能性が高まります。したがって、フィボナッチ数列の形態学的表現は、適応戦略として見ることができます。

3. まとめ

確かに、フィボナッチ数列と自然の間には神秘的で興味深いつながりがあります。このつながりは数学の魅力を示すだけでなく、自然界の力学の隠された謎も明らかにします。生体力学の観点から見ると、自然界におけるフィボナッチ数列の出現は、生物が成長、発達、環境への適応において最良の結果を達成するのに役立つ最適化戦略として理解できます。このシリーズの特徴は、生物が空間と資源を最も効率的に利用し、安定した形態を維持し、外部からの力の影響を効果的に分散させ、生物の適応性と生存能力を高めることです。

もちろん、フィボナッチ数列と自然との関係についての現在の理解は氷山の一角に過ぎず、将来的には探求して答えを出さなければならない科学的な問題がさらに増えるでしょう。私たちは、あらゆる分野の友人たちが、より興味深い疑問を投げかけ、より専門的な解釈を提供し、より刺激的な発見を明らかにしてくれることを期待しています。