確率論はもう存在しないのか？コインを35万回投げた後、両面の結果は1:1ではないことがわかった。

これは最も科学的なコイン投げのチュートリアルです。

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このとき、多くの人はコインを投げて、コインの表か裏で自分で選択します。重要な場面でも、人々はコイントスを使って重要な決定を下すことがよくあります。たとえば、ワールドカップでは、審判がコイントスでどちらのチームが最初にキックオフするかを決定します。

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中学校の数学の教科書には、公平なコインを投げたとき、表と裏が出る確率は等しいと書かれています。したがって、人々は、コインが自分たちに代わって行う選択は公正かつ無私無欲でなければならないと信じています。コインを十分な回数投げると表と裏が出る頻度が 1:1 に近づくことを証明する実験を行った数学者も多く、その中にはコインを 2 万回以上投げた数理統計学の創始者カール・ピアソンもいます。

しかし、コインを投げたときに両方が表になる確率は実際には等しくないと言ったらどうでしょうか?

両方の確率は等しくない

最近、退屈した科学者のグループが集まり、 46種類のコインを350,757回投げました。これには合計約20時間がかかりました。すると、投げたコインが落ちた後に表を向いた面が、コインが投げられる前の最初の面と同じである確率はわずかに高く、約 51% であることが分かりました。

彼らは20時間コインを投げ続けました。出典: YouTube経由のCoin Tossing Team

つまり、コインを投げて表が出た場合、最終的に落ちたときに表が出る可能性が高くなり、その逆も同様です。

また、コインを投げたときに、最初の面と同じ面が出る確率が高い人もいれば、両方の面が出る確率が 50% という理論値に近い人もいることが分かりました。彼らは研究結果をプレプリントサイトarXivに掲載したが、まだ査読は受けていない。

明らかに、これはコインを投げる特定の方法によって、特定の面が表になる確率が高くなる可能性があることを示しています。

では、コインを投げたときに、常に希望する面を上にして落ちるように練習することは可能でしょうか?

理論的にはそうです。

数学者のペルシ・ディアコニスは、米国のスタンフォード大学で数学と統計学の教授になる前は、マジシャンとして働いていました。彼は、カードをシャッフルする方法、サイコロを振る方法、そしてもちろんコインを投げる方法など、「ギャンブル」に関連する数学をよく研究しています。

パーシー・ディアコニスは、カード、サイコロ、ルーレットなどに情熱を傾けるスタンフォード大学の数学者です。画像提供: スタンフォード大学

ディアコニス氏と彼のチームは、2007年にすでに、コインを投げて特定の場所に落とすコイン投げ装置を論文で実証しており、 100%のケースで、最終的に表になるコインの面は開始時の面と同じであった。

ディアコニス氏とその同僚が作ったコイン投げ装置は、コインがスタート面と同じ面に落ちることを100%保証できる。ディアコニスら、2007

人間も手でコインを投げるときにこの効果を得ることができます。たとえば、マジシャンの中には、いくつかのテクニックを使ってコイントスの結果をコントロールできる人もいます。

マジシャンはコイントスの結果をコントロールすることができます。出典: SCAM NATION youtubeより

実際、原理を習得してさらに練習すれば、あなたにもできるようになります。まずは原理を学んで、その後はみんなが自宅で自分で練習できるようにしましょう。

まず、標準的な状況下で空中に投げられたコインがどのように動くかを知る必要があります。

空気抵抗の影響を無視して、コインを空中に投げると、コインはコインの平面にあり地面と平行な「軸」に沿って回転します。物理学を学んだ人なら、この「軸」がまさにコインの回転の角運動量が存在する直線であることにすぐに気づくでしょう。

出典: Numberphile（YouTube経由）

出典: Numberphile、YouTube経由、グラフィック: Dong Yuan

次に、高校で学んだ簡単な物理学を使ってコインの動きを分析します。

出典: wikiHow、YouTube経由

したがって、コインの初速度、高さ、および反転速度を正確に制御できれば、コイン投げの結果を正確に制御できます（少し難しいかもしれませんが）。

コインを整数回投げたときの速度 ω を時間 t に対してプロットすると、次の図に示すように、多くの双曲線が得られます。

画像出典: Diaconis 他、2007

コインの最初の面が表で、投げる速度と時間 (ω, t) が図の影の範囲内にある場合、最終結果は表になります。速度と時間が影の外側の空白部分にある場合、結果は表を向きます。

しかし、このとき網掛け部分の面積と空白部分の面積は等しく、表裏が出る確率は1:1のままです。上記のような逸脱が発生した場合、どうすればよいでしょうか?

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上記の分析は、投げられたコインが地面と平行な「軸」に沿って回転する標準的な状況、つまりコインの回転の角運動量ベクトルが地面と平行であるという状況に基づいています。

しかしディアコニス氏は、これは単なる特別なケースだと指摘する。実際、多くの人がコインを投げてそれが空中で回転するとき、角運動量は地面と平行ではありません。

注意深く観察すると、コインは空中で地面と平行な「軸」の周りを回転しているわけではないことがわかります。出典: サウンド/ビデオインプレッション（YouTube経由）

これは次のモデルで説明できます。

画像出典: Diaconis 他、2007

コインを投げたときに表を上にして着地すると仮定すると、コインの平面に垂直な法線 (n) と角運動量 (M) の間に角度 (ψ) が生じます。コインの回転軸が地面と平行でない場合（つまり、ψ が 90° でない場合）、コインの法線線 n は角運動量 M の周りを回転します。これは歳差運動とも呼ばれます。

ディアコニスはコイン投げにおける歳差運動を説明しています。出典: Numberphile（YouTube経由）

コインが投げられた後、時刻 t で手元に戻ってくる場合、コインの法線 N(t) と地面に垂直なベクトル K の間の角度τ(t)の余弦が 0 より大きいとき、コインは上を向いています。 0 未満の場合、コインは上を向いています (初期面が表面です)。

この余弦τ(t)は、式τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt)を使用して計算できます。ここで、ωNは、角運動量の周りを回転するコインの法線角速度です。

コインの法線ベクトル N(t) が空気中を通過する領域を球体と見なすと、この運動モードでは、法線が上半球 (表面が上を向いている) に留まる時間は、下半球 (裏面が上を向いている) に留まる時間以上になります。

画像出典: Diaconis 他、2007

最後に、コインが表から始まった場合、コインが手に戻ったときに表になる確率は、次のように ψ と関係していることを計算できます。

画像は

画像出典: Diaconis 他、2007

このことから、コインの最初の面が表である場合、コインが落ちたときに表を向く確率は、ψ が直角の場合にのみ 1/2 であり、それ以外の場合は 1/2 より大きいことが直感的にわかります。

ψ が 45° 未満の場合、コインは回転しますが、実際にはプロセス全体を通して反対側に反転しません。したがって、この場合、コインをどれだけ高く投げても、最終的には投げたときと同じ面を上にして落ちてきます。これがコイントスマジシャンが使用するトリックです。

マジシャンが投げたコインは空中で裏返らなかった。出典: SCAM NATION (YouTube経由)

ψが0°のとき、コインは垂直に反転せず、まっすぐ上下に動きます。

出典: Numberphile（YouTube経由）

実際、このような動きは私たちの生活の中で非常に一般的であり、その典型的な例が地球です。地球が自転すると、赤道面の法線も軸を中心に回転します。

地球の自転はコインを投げているように見えますか?出典: スティーブン・サンダース、YouTube経由

まとめると、多くの人が投げたコインは空中で弾かれるときに歳差運動をするため、コインの最初の面が与えられていると、コインが最終的に手に戻ったときに表と裏が上を向く確率は等しくありません。

しかし、ほとんどの人はコインを投げるときに、コインの最初の面に注意を払いません。したがって、開始面がランダムであるという前提の下では、コインを投げた最終結果が表か裏になる確率は依然として 1:1 です(証明プロセスはプレプリント論文にあります)。

したがって、将来、他の人とコイントスの賭けをする場合は、上で教えたコイントスのスキルを練習して「不正行為」を行うことができます。他の人がコインを投げる場合は、手でキャッチせず、コインを直接地面に落とすように指示します。そうすると、コインが再び跳ね返り、空中で数回回転するため、結果がよりランダムになります。

コインは地面に落ち、そして跳ね返って戻ってきました。出典: Numberphile（YouTube経由）

参考文献

[1]https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

[2]https://arxiv.org/abs/2310.04153

[3]http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

[4]https://en.wikipedia.org/wiki/歳差運動

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

[7]https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

[8]https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

[9]https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

[10]https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg