√2 は数学界に大きな衝撃を与え、そのために命を犠牲にした人もいました...

皆さんは「√2 とは何ですか?」という質問について真剣に考えたことがあるでしょうか?

√2 がなくても、地球は回転し、私たちはいつも通りの生活を送る、と言う人もいるかもしれませんね。実際にはそうではありません。少なくとも古代ギリシャには、良い生活を送れなかった人々の集団が存在しました。

それは紀元前500年頃のことでした。エーゲ海周辺に怠惰な賢者の集団がいました。彼らは生産活動に従事するのではなく、宇宙の性質や人生の意味など、さまざまな大きな疑問について考えながら日々を過ごしました。ピタゴラスもその一人でした。

ピタゴラス

彼と弟子たちは、「すべては数である」、つまり、世界のすべてのものの調和は数によって説明され、記述できると信じていました。たとえば、弦の長さが単純な整数比になっている場合、生成される倍音は最も心地よいものになります。

ピタゴラスらが語った「数」は、現在では自然数と呼ばれているもの、つまり私たちが子供の頃から数えることを学んだ 1、2、3 などの数であることに留意する必要があります。世の中のすべては、これらの数字とその比率に他なりません。これは、ピタゴラス学派の自然に対する継続的な探求を支える信念です。ある日、彼らのうちの一人が驚くべきものを発見しました。

この発見は、西洋ではピタゴラスの定理（私たちのピタゴラスの定理とも呼ばれる）として知られている、ピタゴラス学派のもう一つの偉大な業績から生まれたものです。

直角三角形の2辺の長さがaとbで、斜辺の長さがcの場合、次のようになります。

辺の長さがa = b = 1である直角二等辺三角形を描くと、すぐに次の式が得られます。

斜辺の長さの二乗は 2 に等しいのですが、それで何が問題なのですか?

もし私がピタゴラスだったら、この時点では驚かないでしょう。おそらく私はこう言うでしょう: 平方すると 2 になる分数を見つけよう!探してみてください。でも信じてください、残念ながら、そのようなスコアは存在しません。

主張: 平方が 2 に等しい分数は存在しません。(正式な数学では、「命題」と「定理」を区別するために、直感的な理解の下で真か偽かとなるステートメントを主張と呼びます。)

この主張こそが、ピタゴラス学派の信仰の基盤全体を直接破壊したのです。

これを発見した弟子は海に投げ込まれ、他の弟子たちも秘密を守ることを誓わされたと言われています。しかし、それが真実である限り、いつかは発見されるでしょう。隠すことはできません。今日では、√2 は私たちにとって非常に一般的な記号になっています。

それでは、どのような根拠で上記の主張は真実であると考えられるのでしょうか?なぜそれが真実なのでしょうか?特定のスコアの存在を証明したい場合、それは非常に簡単で、それを見つけるだけです。しかし、それが存在しないことをどうやって証明するのでしょうか?長い間探しても見つからないからといって、何も意味しません。それを証明するには論理的推論を使用する必要があります。

上記の主張の証明:

m と n が両方とも自然数である場合、その平方が 2 に等しい分数 m/n があるとします。明らかに、それらはすべて偶数ではないと仮定できます。そうでない場合は、共通因数 2 を除去できます。我々は持っています

右辺は偶数なので、m の 2 乗は偶数であり、したがって m も偶数でなければならないことに注意してください。m = 2k とします。それから

同様に、これは n が偶数であることを示しています。したがって、m と n は両方とも偶数であり、両方とも偶数ではありません。

矛盾があるので仮定が間違っており、そのようなスコアは存在しません。

これは時代を超えて受け継がれる証拠であり、素晴らしく美しいものです。この証明がなぜピタゴラス学派に衝撃を与え、彼らを破滅させたのかを理解するために、次のことを探求し続けましょう。

この方程式に解がないという事実に異論を唱える人はいないでしょうが、1 メートルの辺を持つ正方形は実際に見て触れることができるものであり、その対角線の長さは 2 に等しい量です。しかし、それは分数ではあり得ないことを証明しました。すべては数字であるという格言はどうなりましたか? ！

洞察: 私たちの周囲の物理世界の幾何学的特性により、平方が 2 に等しい量の存在を認めざるを得なくなります。

現代数学によれば、幾何学は無限にあり、そのうちのいくつかはピタゴラスの定理に当てはまりますが、いくつかは当てはまりません。

前者は平面型、後者は曲面型と呼ばれます。現代宇宙論における主要なテーマは、宇宙が平面か曲面かという問いに答えることです。地球上での測定では、直角三角形の 2 辺の二乗の合計が斜辺の二乗に等しいことが示されていますが、これは測定誤差によるものではない可能性があります。より正確な定規を使用すると、2 つが実際には等しくないことがわかる場合があります。この場合、ピタゴラスの信念の一部で十分かもしれません。

しかし、いずれにせよ、平面幾何学では分数は明らかに不十分であり、√2 が存在します。私の知る限り、今日のさまざまな実験は基本的に私たちの宇宙が平らであることを示しています。

ここまで述べてきましたが、1つだけ明確にしておきたいことがあります。√2 は存在するということです。

話題に戻りましょう。スコアではないので、正確には何ですか？ √2 は 1.414··· であると答えるなら、私はさらに尋ねます。それは 1.4142··· ですか? 1.4142135624 · · · ですか？この省略記号「···」は何を意味していますか？ √2 は平方すると 2 になる数であると答える場合、「数」とは何でしょうか?数の二乗とは何ですか?

ここに伏線があり、次回説明します...

転載元: Origin Reading

出典: 解けない方程式: ディオファントスからガロアまで

著者: ハン・シュー

編集者: グル