完全無理数の追求：携帯電話の電卓の限界に挑戦

無理数とは、2 つの整数の比として表現できない数であり、少し「不合理」に思えます。多くの無理数は基本的な演算によって有理数または整数に変換できますが、いくら努力しても「完全」にすることができないものもあります。この記事では、3 つの無理数の組み合わせである無理数を紹介します。研究者は複雑な数式計算を通じてのみそのおおよその値を得ることができます。しかし、もっと重要なのは、携帯電話の計算機でそれを検証できることです。

著者： Ji Yang （中国科学院半導体研究所） 無理数が「無理数」であることは誰もが知っています。整数基準によれば、彼らのほとんどは不完全ですが、彼らの多くは非常に理想主義的で、常に完全性を追求したいと考えています。自分自身に頼る人もいれば、仲間に頼る人もいます。

この携帯電話の電卓は非常に強力で、特に科学電卓モードは優れています。たとえば、円周率の値を小数点以下 100 桁まで簡単に計算できます。
ご自身での検査を容易にするために、詳細な操作手順を紹介します。まず、携帯電話の電卓を開きます（私の携帯電話はHuawei P30です）。縦型の「標準電卓」と横型の「科学電卓」の2つのモードがあり、自由に切り替えることができます。

「科学計算機」と入力すると、自動的に横型に切り替わり、上部に 2 行の表示画面、下部にキーボードが表示されます。 「π」キーを押すと、ディスプレイの 1 行目に π が表示され、その値が 2 行目に「3.1415...1971」と表示されます。この行には 42 個の数字または文字を表示できます。タッチスクリーン操作により、数字のコピーと貼り付けが可能です。

さて、携帯電話に内蔵されているπは何桁まで計算できるか検証してみましょう。先ほど得た 42 桁の数字を π から引きます。つまり、「π-3.1415...1971」となります。

キーボードのマイナスキー「-」を押すと、ディスプレイの最初の行が「π-」に変わります。最初の行を指で押すと、すべての数字を覆う網掛けの領域が表示され、「コピー」と「貼り付け」の 2 つのキーが同時に表示されます。 「貼り付け」を選択すると（カーソルがこの行の右端にあることを確認してください）、結果を取得できます。

同じ操作を続けて、さらに数字を取得します。
メニューから「履歴」を選択すると、先ほど行った π の 100 桁までの計算など、以前に実行した計算を見つけることができます。

計算は正しいですか？インターネットで π の小数点以下 200 桁までの値を次のように見つけました。

π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196。

上の写真と比較すると、携帯電話の電卓の結果は小数点以下115桁あり、すべて正しいことがわかります。明らかに、この方法を使用するとより多くの桁をカウントできますが、何桁までカウントできるかはテストしていません。やはり、携帯電話でコピー＆ペーストするのは面倒です。

このパフォーマンスは、私の PC システムに付属の電卓よりも優れていることは特筆に値します。同様の操作を行うと、PC システムの電卓では「π = 3.14......6939931148」という結果になります (41 桁目から 50 桁目は 6939937510 になるはずです)。ただし、小数点以下 47 桁目から計算すると誤りになります。

コンピュータの計算機でπ-3.141…2795の値を計算したところ、47桁目に誤りが見つかりました。
インターネット上のπの値は必ず正しいのでしょうか？それは正しいかもしれないし、携帯電話の計算機が π の多くの桁を特別に確保していて、おそらくバックアップのためにどこかに隠しているのかもしれない。

それは違います。注意深く観察すると、2 つの計算機の最初の計算結果は同じであることがわかります。コンピューターの結果の最後の 4 桁は 9871 です。携帯電話の対応する位置は9870で、その後に9桁の数字「892347382」が続きます。コンピュータの電卓で減算を行うと、結果は先頭にマイナス記号が付いた「-1.076524...」になります。負の符号を考慮すると、携帯電話に表示される最後から 3 番目の数字、つまり 3 (携帯電話の計算) と 4 (コンピューターの計算) まで、これら 2 つの計算結果の間には確かに違いがあります。コンピューターに比べると、携帯電話を信頼すべきだと思います。結局、より多くの桁数が得られ、計算されたπの値はインターネット上の結果と同じになります。

私もパソコンの電卓を使って計算してみましたが、3人とも完全性を追求しているのはわかりますが、小数点以下10桁ではやはり結果が違っていました。

私は入門記事[1]を見つけましたが、私にはわかりにくかったですが、有益でないわけではありませんでした。上記の式を見つけたことに加えて、皆さんもご存知のとおり、数学者は数学が得意でも、必ずしも算数が得意ではなく、記号などで間違いを犯すことが多いということも発見しました。本文に示されているように、著者が成功を祝福する前の最後の 2 行の数式では、「196884」の前の記号が異なっているため、どちらかが間違っているはずです。そして、間違っているのは最後の行の記号であると確信しています。

参考文献

[1] https://www.isibang.ac.in/~sury/episq163.pdf

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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