セルフ回収キャビネットのピックアップコードを繰り返し入力すると、キャビネットの扉は開きますか？

私はオンラインで購入した商品を受け取るために、セルフサービスロッカーによく行きます。セルフピックアップキャビネットでのピックアッププロセスは次のとおりです。購入した商品が到着すると、物流システムからピックアップコード（例：D333EA）が携帯電話に送信されます。次に、セルフピックアップキャビネットに行き、ピックアップコードを入力して購入した商品を取り出します。

誰もがこのプロセスに慣れていますが、大型のセルフピックアップキャビネットには何百ものキャビネットがあるという疑問について考えたことがある人はいますか。何も買わずにセルフピックアップキャビネットの前で何度もトライしたり、商品を受け取る際に間違ったコードを押したりすると、誤ってキャビネットを開けて他の人の商品を持ち去ってしまう可能性はありますか？

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答えはノーです。なぜ？これには数学を使って答えることができます。

24日間、飲食せずにセルフサービスロッカーの前に立っていても連れ去られない場合は

セルフピックアップキャビネットに 1,000 個のキャビネットがあり、各キャビネットが 6 桁の長さのピックアップコードに対応しているとします。各ピックアップコードには、0～9の数字とA～Zの文字のみが含まれます。ピックアップコードをランダムに入力した場合、ロッカーを開くのに何回入力する必要がありますか?

これは確率に関する質問です。まず、セルフピックアップキャビネットのピックアップコードはほぼランダムに生成されることが分かっています。したがって、6 桁のピックアップ コードにはそれぞれ 36 通りの可能性があります (10 桁の数字 + 26 文字)。そのため、正しいピックアップ コードを 1 回入力する確率は 1/(36^6) です。 1000 個のキャビネットのうち 1 つが同時に開く確率は 1000/(36^6) です。

この数字に敏感でない場合は、キャビネットの 1 つが 1/10 の確率で開くようにするには、何回入力する必要があるかを計算してみましょう。この数値 n の計算式は次のとおりです。

計算結果から、n≈210720となり、約21万倍となります。ピックアップコードの入力に 10 秒かかると仮定すると、飲食せずに 24 日間以上そこに立っている必要があります。ただし、これは 1/10 の確率にすぎないことに注意してください。

数学的思考を用いてセルフサービスロッカーを開ける確率を調べる

上記の複雑な計算を脇に置いて、ランダムな試行でロッカーを開けるのがなぜそれほど難しいのかという質問に一文で答えると、ロッカーを開けることができる検索コードがあまりにもまばらに分散されているからです。スパース分布が何を意味するのか説明してください。目の前にロッカーがいくつかあり、各ロッカーには独自のピックアップ コードがあり、ピックアップ コードは指定された範囲内でランダムに生成されるとします。

読者の理解を深めるために、キャビネットが 10 台しかなく、ピックアップ コードが 1 桁しかないという最も単純なケースを見てみましょう。ピックアップ コードは、10 個の数字と 26 個の文字のいずれかである必要があります。直線上に 36 個の点があり (図 6-1 を参照)、各点が数字または文字に対応していると想像できます。すると、この 10 個のキャビネット (図の 10 個の大きな点) を開くことができるピックアップ コードは、この直線上の 36 個の点のうちの 10 個になります。

図 6-1 からわかるように、点をランダムに選択することで大きなドットを選択するのは簡単です。これは、ランダムなピックアップ コードを試すことでキャビネットを開けるのが簡単になることも意味します。

ピックアップコードが 2 桁であると仮定すると、ピックアップコードの最初の桁は 36 ポイントを含む水平軸、ピックアップコードの 2 番目の桁は 36 ポイントを含む垂直軸とみなします。したがって、図 6-2a に示すように、すべての可能なピックアップ コードは 2 次元平面の交点に配置されます。画像には、キャビネットを開くことができる検索コードに対応する、ランダムに生成された 10 個の大きなドットも表示されています。この時点で、これら 10 個のポイントの分布は非常にまばらであることがわかります。ランダムに試すと、大きな点の位置を選択するのが難しくなります。

ピックアップコードが 3 桁になると、ピックアップコードは 3 次元空間内の点として表されます。図 6-2b に、すべてのピックアップ コードに対応するポイントと、キャビネットを開くことができるランダムに生成された 10 個のポイント (大きなドット) を表示します。これら 10 点がより疎らになっていることがわかります。

実際のピックアップコードは 6 桁であるため、各ピックアップコードは 6 次元空間内の点であり、引き出しキャビネットを開くことができるピックアップコードの点は非常にまばらに分布していると考えられます。商品番号を推測するのは干し草の山から針を探すようなもので、運だけで見つけるのはほぼ不可能です。したがって、スパース性がピックアップ コードのセキュリティの鍵となります。

数学的思考は、世界が疎らであることを教えてくれる

数学の分野では「スパース性」の明確な定義があります。時間信号がスパースである場合、この時間信号のほとんどの位置の値はゼロになります。図 6-3a は、このようなスパースな時間信号を示しています。

画像がスパースである場合、この画像内のピクセル値のほとんどはゼロになります（対応する色は黒です）。図6-3bはスパース画像を示しています。

現実世界の時刻信号を見てみましょう。

スマートブレスレットは現在非常に人気があり、図 6-4a に示すように、人々の運動状態を測定できます。スマートブレスレットは、加速度計を使用して、人が運動しているときに腕の加速度の元の信号を収集し、信号を処理して、歩数、走行距離などの対応する情報を取得します。生の加速度信号を表示すると、図 6-4b のようになります。

元の加速度信号は図 6-3a とはまったく異なり、スパースではありません。

しかし、この加速度の生の信号はスパースに見えませんが、フーリエ級数で表現するとスパースであるということをお伝えしたいと思います。 （図6-6参照）

元の信号を表すために使用されたすべての正弦波のうち、周波数が高いのは少数の正弦波のみであり、その他の正弦波の周波数は非常に低いことがわかります。これは、いくつかの正弦波を除いて、ほとんどの正弦波の前の係数がほぼゼロに等しいことを意味します。

言い換えれば、この時間信号の周波数領域表現はスパースです。

時間的な信号に加えて、私たちの日常生活における画像は実際にはまばらです。原理はスマートブレスレットと非常に似ています。図 6-8 の元の画像はスパースではありませんが、特異値分解と呼ばれる数学的なツールを使用して、画像を一連の非常に単純な画像の重ね合わせに分解することができます。方程式の右側の画像は非常に単純です。よく見ると、これらのシンプルな画像は水平バーと垂直バーで構成されていますが、水平バーと垂直バーの位置はシンプルな画像ごとに異なります。

それぞれの単純な画像は、元の画像内のパターンに対応していると言えます。

元の画像は豊富でまばらではないように見えますが、いくつかの単純な画像だけで表現できます。

このように表現することに何のメリットがあるのか​​と疑問に思う人もいるかもしれません。主な利点はデータの圧縮にあります。

シンプルな画像では、RAW 画像よりも必要なストレージ容量がはるかに少なくなります。この方法により、比較的大きな係数に対応する少数の単純な画像を、対応する係数とともに保存するだけで、元の画像を復元できます。これにより、必要なストレージスペースが大幅に削減されます。

このように、数学的思考は私たちの日常生活のいたるところに存在します。スパース性は、私たちが歩くすべてのステップ、保存するすべての画像、入力するすべてのピックアップ コードに存在します。数学的に考えることを学べば、一見複雑に見える多くの現象も、実はその背後にはまばらで単純なルールがあることがわかります。

この記事は、中国科学普及-星空プロジェクト（創造と栽培）によって作成されました。転載の際は出典を明記してください。

著者: 劉雪峰、北京航空航天大学准教授、博士課程指導者

査読者: 鄧清泉、華中師範大学数学統計学院准教授