2022年アーベル賞受賞者サリバン氏：異なる分野をつなぐ数学の舵取り

2022年のアーベル賞は、アメリカの数学者デニス・パーネル・サリバン氏に「最も広い意味での位相幾何学、特に代数学、幾何学、力学への先駆的な貢献」により授与された。数学の巨匠サリバンは、今日最も影響力のある位相幾何学者の一人です。彼は位相幾何学の多くの分野に根本的な貢献を果たし、また数学の他の分野でも業績を残しました。彼の受賞は当然のものでした。サリバン氏は80代になっても、依然として数学の探究の道を歩み続けています。その過程で、多くの友人や数学の巨匠たちから影響を受け、方向を導く「運転手」のような数学の舵取り役となった。

著者 |ニ・イー（カリフォルニア工科大学数学教授）

シモンズのドライバー

子供の頃、私はこんな話を読んだことがあります。アインシュタインは有名になった後、さまざまな大学で講演をするよう頻繁に招待されました。かつて、運転手がアインシュタインにこう言った。「あなたのスピーチは何度も聞いているので、自分でもできます。次回は私が代わりにスピーチしますよ！」そこで次回、アインシュタインは運転手に自分のふりをしてスピーチをするように頼み、自分は運転手のふりをしました。運転手は非常にうまく話しましたが、話し終えた後、聴衆の誰かが質問をしましたが、もちろん運転手は答えられませんでした。運転手は突然ひらめき、アインシュタインを指差してこう言いました。「この質問はとても簡単なので、私の運転手でも答えられますよ！」その後、アインシュタインがステージに登場し、質問に答えました。

この話はもちろんフィクションですが、広く流布しており、中国人コミュニティによって作られたものではありません。 10年以上前、私は有名な数学者でありウォール街の大物であるジェームズ・シモンズ（1938年-）の学術講演会に出席しました。シモンズ氏は冒頭でこの話をし、その後こう言った。「今日、私が答えられない質問があれば、私の運転手に聞いてください...」

シモンズが言及した「ドライバー」とは、観客の中にいたデニス・パーネル・サリバン（1941年 - ）のことだった。その報告書の中で、シモンズはサリバンとの微分コホモロジーに関する研究について語った。いわゆる「運転手に聞いてみよう」というのは、雰囲気を盛り上げるための自虐的なジョークに過ぎません。ウォール街に入る前から、シモンズはすでに一流の数学者だった。 1976年、彼は幾何学と位相幾何学の最高賞であるヴェブレン賞を受賞した。彼がShiing-Shen Chern (1911-2004)と共同で完成させたチャーン・サイモンズ理論は、幾何学、位相幾何学、理論物理学において非常に重要な役割を果たしている。シモンズが学界を去る前に発表した最後の論文は、「微分コホモロジー」の分野における古典となった。 20年以上経って、シモンズは数学の研究に戻り、当然のことながら研究を続け、同僚のサリバンとともにいくつかの重要な論文を共同執筆しました。

シモンズは非常に頭が良く、視野が広いです。学界を去る前に彼が発表した論文は全部で10本未満であり、彼の共同研究者は皆数学の達人だった。数学研究に戻った後、彼とともに働いた「運転手」サリバンは数学の修士となり、数々の栄誉を獲得した。サリバン氏の最新の受賞は、2022年3月23日にノルウェー科学文学アカデミーから授与された数学の最高賞であるアーベル賞である。

サリバン出典: ストーニーブルック大学、ニューヨーク州立大学

サリバン氏のアーベル賞受賞は当然だ。彼は過去半世紀で最も影響力のある位相幾何学者の一人であり、位相幾何学の多くの分野に根本的な貢献をしてきました。しかし、彼の研究は位相幾何学だけにとどまらず、力学システム、微分幾何学、数理物理学なども含んでいます。彼が研究に使うツールは、代数学、数論、幾何学、解析学、理論物理学などの分野にわたる非常に幅広いものです。アーベル賞の表彰状には、この賞は「最も広い意味での位相幾何学、特に代数学、幾何学、力学への先駆的な貢献」に対して贈られたと書かれており、これはサリバン氏の研究スタイルを正確に要約している。

舵を取るリーダー

サリバンは学部課程をライス大学で学びました。彼の最初の専攻は化学工学でした。数学の授業で複素解析におけるリーマン写像定理を学んだ後、彼は大きな衝撃を受け、数学専攻に切り替えることを決意した。彼は博士号を取得した。 1966年にプリンストン大学でウィリアム・ブラウダー（1934-）の指導の下、博士号を取得。卒業後、ウォーリック大学、カリフォルニア大学バークレー校、マサチューセッツ工科大学、パリ第1大学で短期間勤務した。サリバン氏は、1974年から1997年までフランスの国際高等科学研究所（IHÉS）の終身教授を務め、1996年からはニューヨーク州立大学ストーニーブルック校の教授を務めています。1981年以来、ニューヨーク市立大学大学院の非常勤アルバート・アインシュタイン教授を務めています。

ニューヨーク市立大学で、サリバンは世界中の数学者を招いて講義を行う有名なアインシュタイン講演セミナーを主催しました。このセミナーには時間制限はなく、聴衆は自由に質問することができます。通常、レポートの作成には 3 時間以上かかり、最長の記録は 6 時間半です。

サリバンが参加するレポートは決して退屈なものにはならないだろう。なぜなら、彼は常に最前列に座り、ほとんど毎回質問をするからだ。私が出席した会議では、講演者は時間の都合で直接出席せず、事前に録画したビデオを通じてのみスピーチを行いました。しかし、会議会場の音響システムに問題があり、音質が非常に悪かったです。この場合、出席者の大多数は早めに退席しました。講義を聞きに残ったのはサリバン氏を含めて10人ほどだけだった。彼は、質問することができなくなっていたにもかかわらず、最前列に座り、非常に興味深くビデオを見ていました。

サリバンは若者に対してとても親切で、自分の考えを惜しみなく共有することが多かった。私が博士課程に在籍していた頃、会議の後にヒッチハイクをしていて、彼と同じ車に乗りました。当時、私はたまたまサリバンが 1970 年代に提案した葉の構造に関する定理を使用する必要があったのですが、より強力なバージョンが必要だったので、この強力なバージョンが正しいかどうかをサリバンに尋ねる機会を得ました。サリバンはすぐに彼の考えのいくつかを私に話し、それを証明してみるよう提案しました。私の能力が限られているため、彼の言ったことを完全に理解することはできませんでしたが、彼の熱意と誠実さは感じ取ることができました。これは私が彼と個人的に接触した数少ない機会のひとつでした。

サリバンは後輩たちを惜しみなく褒める。私が感銘を受けたことの一つは、モハメッド・アブザイドが隣接ラグランジアン多様体の予想について講演した会議でした。報道後、サリバン氏は司会者にコメントがあると語った。マイクを手にした後、サリバン氏はただ一言「すごい！」と感嘆しただけだった。これは私が今まで目にした記者に対する最も素晴らしい賞賛です。

2011年、サリバンの70歳の誕生日を祝う会議がストーニーブルックで開催されました。数学界におけるこのような会議は通常は最大で1週間続きますが、サリバン氏は非常に多くの分野に関わっており、その影響力も広範囲に及んでいたため、彼の誕生日会議は10日間続きました。最終日の2番目の夜にはシモンズの自宅で大規模なパーティーが開かれることになった。参加者は全員会場の外に集合し、バスで一緒に移動となります。その結果、その日の午後、会場の周囲には突然、知らない顔がたくさん現れました。彼らの多くは数学を勉強しているようには見えませんでした。彼らのほとんどは参加者の友人や親戚で、一緒に食事や飲み物を楽しみ、億万長者の邸宅を見学したいと考えていた。

結局、宴会に出席する人数は控えめに見積もっても通常の出席者数の2倍以上となり、会議の主催者に大きなプレッシャーがかかりました。何よりも、事前に送迎用のストレッチリムジンを手配するだけでは十分ではありません。午後の最後の報告の後、秘書が壇上に上がり、参加者が多すぎるため、全員を宴会に招待するのは不可能だと言った。シモンズ氏が今後、全員のために宴会を主催できるようにするには、今回は秘書たちが参加者を審査し、承認した人だけがバスに乗れるようにしなければなりません。当然、多くの人が非常に失望しましたが、主催者の懸念も理解していました。

この時、サリバンは厳しい表情をしていた。彼は携帯電話を手に取り、通話しながら会場から出て行った。しばらくして、サリバンは会場に戻ってきて手を振った。「問題ありません。全員行けますよ！」サリバン氏のやり方からすると、彼はおそらくシモンズ氏に直接電話をかけ、宴会の規模を拡大することに同意するよう求めるだろう。結局、主催者は宴会の成功を確実にし、ゲストと主催者の両方が楽しめるように、さらに多くの車両を派遣し、より多くの人員と物資を割り当てました。

サリバンはリーダーとしての気質を持っていると言える。彼は学業で優れているだけでなく、カリスマ性のあるリーダーシップの性格も持っています。この観点からすると、シモンズがサリバンを「運転手」と表現したのは全くの冗談ではなかった。彼は間違いなく数学界のリーダーだ。

有理ホモトピー理論

サリバンの初期の研究は、非常に純粋な位相幾何学に関するものでした。サリバンは博士論文で、位相幾何学における手術理論を大きく発展させ、このツールを使って組合せ位相幾何学における「マスター予想」(Hauptvermutung) を特定のコホモロジー類の計算に変換しました。この200ページの博士論文は学術雑誌に正式には掲載されませんでした。サリバンはアメリカ数学会の会報に3ページの研究報告を発表しただけで、1971年にヴェブレン賞を受賞した。 (ヴェブレン賞の授与規則によると、受賞論文は過去 6 年以内に正式な学術雑誌に掲載されている必要があります。サリバン氏が実際に受賞した研究は、正式には出版されていない博士論文に含まれていたため、賞はその出版された研究報告に対して授与されました。)

サリバンの博士論文審査中、審査委員のノーマン・スティーンロッド (1910-1971) が「あなたの理論は素晴らしいですが、これらのコホモロジー類をどのように計算するのですか?」と質問しました。サリバン氏は当時その答えを知らず、「ヒルシュ・マズール平滑化理論について同じ質問をした人は誰もいない！」と文句を言うことしかできなかった。

サリバン氏は当時のスティングロッド氏の反応を記録していないが、スティングロッド氏がその答えに満足していなかったことは明らかだ。彼はその後イギリスへ向かう船旅の間、この問題について考え続け、ある時点で絶望してメモを海に投げ捨てた。彼は最終的に部分的な答えを見つけ、それが彼の最も重要な研究の一つである有理ホモトピー理論の着想のきっかけとなりました。

位相幾何学には、ホモロジー群とホモトピー群という 2 つの基本的な不変量があります。その中にはホモロジー群を計算するための既成のアルゴリズムもありますが、ホモロジー群の計算は非常に難しく、一般的な計算方法はありません。 1951年、フランスの数学者ジャン＝ピエール・セール（1926-）は「スペクトル列」法を開発し、それを用いて球面の有理係数のホモトピー群（有理ホモトピー群と略記）を計算した。サール氏は1954年にフィールズ賞を受賞したが、これはこれまでで最年少の受賞者となった。

Searle の研究は、有理ホモトピー群の計算は一般ホモトピー群の計算よりもはるかに簡単であることを思い出させます。 1969年頃、サリバンとクィレン（ダニエル・クィレン、1940-2011、1978年フィールズ賞受賞者）は有理ホモトピー理論を確立し、有理ホモトピー群の計算を可能にしました。サリバンのアプローチはクイレンのアプローチとは異なり、一般的に計算に適していると考えられています。フランス科学アカデミー会員のエティエンヌ・ギースによれば、サリバンによる有理ホモトピー理論の創始は「素晴らしい芸術作品」であり「数学の歴史における偉大な瞬間」であった。

有理ホモトピー理論を確立する過程で、サリバンは数学のさまざまな分野のアイデアと方法を組み合わせました。彼は微分多様体の微分形式を微分構造のない空間に一般化し、対応するド・ラームの定理を確立した。彼は代数的整数論や代数幾何学における「局所性」や「完全性」の考え方を位相空間に応用し、整数論でよく登場する「絶対ガロア群」を位相幾何学に導入した。彼はこの非常に代数的な方法を用いて、ホモトピー理論におけるアダムス予想を独自に証明しました。 (クィレンは別のアプローチを使ってアダムズ予想も証明した。)

サリバンの MIT 講義ノート |出典: Amazon

サリバンの有理ホモトピー理論に関する研究のほとんどは、当初は講義ノートの形でのみ存在し、ごく一部が論文として学術雑誌に掲載されただけであった。 1970 年に発表された「MIT 講義ノート」は 30 年以上にわたって学内で回覧され、2005 年まで書籍としてまとめられることはありませんでした。このような現象は数学の巨匠の間では珍しいことではありません。サリバンは創造力が最高潮に達し、新しいアイデアを豊富に持っていた。こうした一流の数学者にとっては、論文を微調整したり査読者からのさまざまな質問に答えたりすることに時間とエネルギーを費やすよりも、新しい分野を開拓し、細かい部分は他の人に任せたほうがよいでしょう。そうすれば、数学への貢献はさらに大きくなります。

マスター同士の友情

1974 年、サリバンは国際数学者会議で「多様体の​​内と外」と題する全体報告を行った。彼は、有理ホモトピー理論の確立後、高次元単連結多様体の位相的分類がほぼ完了したと指摘した。次に重点を置くべき研究分野は、多様体の内部の幾何学的特性をよりよく反映できる動的システムや葉のような構造などです。彼は自ら行動を起こし、その後 20 年間をかけて、力学系、双曲幾何学、群作用などを含む多様体の幾何学的性質を研究しました。この分野における彼の研究は、ウィリアム・サーストン（1946年 - 2012年、1983年フィールズ賞受賞者）の影響を大きく受けました。

若き日のサーストン |出典: philosophyofscienceportal.blogspot.com

1971年、サリバンはバークレーを訪れた。ある日、彼は二次元力学系についての報告を聞きに行きました。講演者が話を終えた後、最前列に座っていた上級数学者たちは異議を唱えなかった。しかし、後列にいた長い髪と大きなあごひげを生やした若い男性が立ち上がり、報告書で使用されたアルゴリズムは間違っていると主張した。それから、その若者は演壇に上がり、黒板に例を描きました。レポートのアルゴリズムをこの例に適用すると、グラフはますます複雑になり、アルゴリズムは機能しなくなります。この若者は当時まだ大学院生だったサーストンであり、一方サリバンはすでにヴェブレン賞を受賞しており、世界トップクラスの位相幾何学者の一人でした。それにもかかわらず、サリバンは依然としてサーストンの幾何学的直感を賞賛していた。

数日後、サリバンはバークレーの大学院生から建物内に壁画を描くよう依頼された。サーストンは壁に非常に複雑な曲線を描いていて、サリバンに「これを描く価値があると思いますか？」と尋ねました。

サリバンは尋ねた。「これは何ですか？」

「単純な閉曲線」

「十分面白いはずだよ！」

そこでサーストンとサリバンは壁画を完成させるのに数時間を費やした。この絵は覆われるまで、バークレーの数学棟に40年近くも置かれていた。

サーストン＆サリバンが描いた壁画 |出典: AMS の通知

単純な閉曲線は分岐が 1 つだけの曲線ですが、非常に複雑になることもあります。当時は、サリバンのようなトップレベルの位相学者でさえ、このことに気づいていませんでした。サーストンはサリバンに、そのような曲線をどのように構築し、どのように美しく描くかを説明しました。サリバンにとって、これは間違いなく幾何学的思考の洗礼でした。サリバン氏は、数時間かけて壁に絵を描いたときにそのアイデアを学んだため、数年後にはサーストンの表面マッピングに関する研究をそれほど苦労せずに理解できたと語った。

1970 年代後半、サーストンは低次元位相幾何学の研究に双曲幾何学を導入し、低次元位相幾何学を双曲幾何学、クライン群、タイヒミュラー理論、複雑力学系などの多くの分野と結び付けました。サリバン氏はこれらの関連分野で多くの基礎研究を行ってきました。彼の最も重要な貢献は、特定の定理の証明ではなく、哲学的観点からの基本的な指針である「サリバンの辞書」の提案でした。

サリバンの辞書の最も古いバージョン。彼の原論文より

サリバンは、クライン群と複雑な力学系には多くの類似点があり、多くの概念と定理が一つずつ一致できることを発見しました。 「サリバンの辞書」として知られるこの対応関係を利用することで、ある分野の既存の概念や理論を別の分野に類推したり、ある分野の思考方法を使用して別の分野の未知の問題を解決したりすることができます。 「サリバンの辞書」は、クライン群と複雑力学システムに関する膨大な研究を生み出し、多くの困難な問題の解決に効果的に使用され、これら 2 つの分野の様相を大きく変えました。サリバン自身もこの原理を使って、複雑動力学システムの創始者であるファトゥとジュリアが残した 65 年前の問題を解決しました。サーストンの幾何化プログラムもサリバンの辞書に深く影響を受けました。

マンデルブロ集合は複雑な動的システムの研究における重要なオブジェクトであり、サリバンの辞書にも載っています。出典: Wikipedia

サリバンと同様に、サーストンの最も重要な著作は未出版のままで、プリンストン大学の講義ノートとしてのみ存在した。この講義で、サーストンは「サークルパッキング」の概念を再発見しました。しかし、サーストンの講義ノートに含まれていた数学は非常に豊富だったため、円充填は当初、学界では真剣に受け止められませんでした。 1985 年の講義で、サーストンは円充填によって複素解析におけるリーマン写像定理の簡単な構成的証明が得られるのではないかと推測しました。サーストンの予想は、1987 年にバート・ロディンとサリバンによって証明されました。この時点から、円の塗りつぶしは多くの注目を集め、徐々にコンピューター視覚化における多くの応用を持つ独立した分野へと発展しました。

円の塗りつぶしの例。図の三角形と円の内側を塗りつぶす円の組み合わせパターンは同じですが、三角形の内側に使用されている円は同じサイズですが、円の内側の円はサイズが異なります。丨画像ソース: AMS の通知

サリバンとサーストンの友情は40年以上続き、両者ともその友情から大きな恩恵を受けた。サーストンが病気で亡くなった後、サリバンは彼らの関係の間に起こった11の物語を綴った回想録を一気に書き上げた。

物理学からの影響

1980 年代以降、物理学は純粋数学の研究に予期せぬ影響を与えてきました。この点で最も有名な例としては、ゲージ場理論を用いて4次元微分多様体の不変量を構築したサイモン・ドナルドソン（1957年 - 、1986年フィールズ賞受賞者）や、ウィッテン（1951年 - 、1990年フィールズ賞受賞者）などの物理学者によって開発された弦理論が数学の多くの分野に与えた影響が挙げられます。物理学が引き起こしたこの大きな潮流の中で、サリバンもまた時代の最前線に立っていました。

1989年、サリバンはドネルソンと協力してドネルソン理論を4次元準共形多様体に拡張した。これは 1980 年代の彼の数少ない位相幾何学的研究の 1 つです。

1999 年、ウィッテンに一部触発されて、サリバンと現在の妻であるモイラ・チャスは「弦トポロジー」を定義し、上記のリー代数構造を発見しました。 「ストリングトポロジー」という名前は、そのアイデアがストリング理論に由来することを示唆しています。 (弦トポロジーの最も単純な例は、サーストンの学生ウィリアム・ゴールドマンによって以前に発見されました。) 弦トポロジーは、シンプレクティック幾何学と量子場理論の両方で幅広く応用されており、現在研究のホットスポットとなっています。

サリバンは物理学に対してオープンな姿勢を持つ数学者です。彼はゲージ場理論や弦理論などの基礎理論だけでなく、物理学の多くの分野に興味を持っています。ファイゲンバウム定数に関する彼の研究はその一例です。

1975年、ロスアラモス国立研究所の物理学者ミッチェル・ファイゲンバウム（1944-2019）は、単峰マッピングの反復を研究しているときに、数値計算を通じて「周期倍分岐」を発見しました。これは物理学の多くの分野で幅広く応用されている重要なカオス現象です。ファイゲンバウムはこの研究により1986年のウルフ物理学賞を受賞した。

単峰性マッピングの分岐図。各分岐フォークの長さと次の分岐フォークの長さの比の限界が第 1 ファイゲンバウム定数であり、各分岐フォークの幅と適切に選択された次の分岐フォークの幅の比の限界が第 2 ファイゲンバウム定数です。出典: Wikipedia

周期倍分岐では、2 つの定数 4.669201... と 2.502907... が現れ、それぞれ第 1 ファイゲンバウム定数と第 2 ファイゲンバウム定数と呼ばれます。ファイゲンバウムらは、物理学者が一般的に使用する「再正規化」法を使用し、コンピューターの助けを借りて、これら 2 つの定数が、大規模な動的システムで同じ値を持ち、π や e のような普遍定数であることを証明しました。幾何学的には、これは、これらの動的システムにおける分岐図が類似した形状を持つことを意味します。

しかし、数学者の観点から見ると、物理学者の証明は厳密ではなく、コンピュータの支援により、人間がその意味を真に理解することは困難です。多くの力学系の専門家は、ファイゲンバウム定数の普遍性に関する純粋に数学的な証明を探し始めました。サリバンはこれに重要な役割を果たした。彼はタイヒミュラー理論を用いた数学的証明の概要を示し、繰り込み写像の収束を証明した。彼の学生カーティス・マクマレン（1958年生まれ、1998年フィールズ賞受賞者）は、サリバンの辞書のこの問題が、サーストンの写像トーラス上の双曲構造の存在定理に対応することを証明した。最後に、ストーニーブルック大学でのサリバンの同僚であるウクライナの数学者ミハイル・リュビッチ（1959年 - ）が、1999年に普遍性の最初の数学的証明を与えた。

サリバン氏は常に流体力学に非常に興味を持っていました。ライス大学の学部生だった頃、彼は夏休みに石油会社でインターンシップをすることが多く、そこでの仕事はコンピューターを使って線形化されたナビエ・ストークス方程式を解くことでした。過去 30 年間、サリバンは流体力学、特にナビエ-ストークス方程式について代数的位相幾何学の観点から考えてきました。これは非常に複雑な分野です。サリバン氏は、トップクラスの学術誌にいくつか論文を発表しているものの、満足できる中間結果はまだ得られていない。彼自身の言葉によれば、彼は主題をどんどん理解しているが、まだ努力中である。

数学は若者のための科目だとよく言われます。しかし、80代になったサリバン氏は今も科学研究に積極的に取り組んでおり、さまざまな分野の最新の動向を積極的に学び、さらなる研究の方向性を模索しようとしている。サリバンにとって、数学の探究には禁じられた領域はなく、終わりもありません。

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