あなたと同じ誕生日の人を見つけたいですか?そんなに難しいことじゃないですよ！

誰かが自分と同じ誕生日だと聞いたとき、「偶然だね」と驚いたり、無意識のうちにその人に対して親近感を抱いたりしますか？あなたたちが同じ日に生まれ、こんなに大勢の人の中で出会ったのは神の意志なのでしょうか？

科学的な計算をすると、この考えは感情的すぎると言わざるを得ません。結局のところ、二人が同じ日に生まれる可能性は、あなたが思っているよりもはるかに高いのです。

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クラス内で同じ誕生日の人がいる確率はどれくらいでしょうか?

小学校のクラスに生徒が 40 人いるとします。彼らが同じ誕生日（同じ月、同じ日）である確率はどれくらいでしょうか？

これは実際には順列と組み合わせの問題です。まず、人々が同じ日に生まれたと仮定すると、最も単純な組み合わせ（2 人が同じ日に生まれる）以外にも、多くの組み合わせが考えられます。同じ誕生日が異なる日付に存在する場合があります。たとえば、3 月 14 日に生まれた人が 2 人、4 月 13 日に生まれた人が 2 人います。同じ日に生まれた人が 2 人以上いる場合もあります。たとえば、3 月 14 日に生まれた人が 3 人います。

そう考えると、ある日には3人が生まれ、別の日には4人が生まれるといった複雑な状況も考えられます。可能な組み合わせをすべてリストアップして確率を合計するのは、実際にはほぼ不可能な作業です。

しかし、逆の立場から考えてみると、問題はずっと単純になります。

同じクラスで誕生日が重複する確率と重複しない確率の合計は 1 です。必要な結論を得るには、誕生日が重複しない確率を計算し、その確率を 1 から引くだけです。

したがって、この問題は、40 人の小学校のクラスで 2 人 (またはそれ以上) が同じ日に生まれない確率に単純化できます。

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便宜上、まず全員を教室から外に招き出し、その後生徒を一人ずつ呼び戻し、その過程で新入生の誕生日が前の生徒の誕生日と異なる確率を計算するものとします。

教室に入ってくる最初の生徒の誕生日が 3 月 14 日だとします。 2人目の学生の入場をお願いします。質問の要件を満たすには、2 番目の生徒の誕生日は 3 月 14 日を除く 365 日のうちの任意の日になります。 2 番目の生徒の誕生日が 1 番目の生徒の誕生日と異なる確率は 364/365 です。 (ここでは 2 つの仮定を立てます。1 つ目は、うるう年は考慮されないこと、2 つ目は、出生率は年間を通じて毎日同じであるはずであることです。 )

3 人目の生徒を招待してください。彼の誕生日は前の 2 人の生徒と同じであってはなりません。したがって、確率は (364/365)×(363/365) になります。最初の括弧は最初の 2 人の生徒の誕生日が異なる確率であり、2 番目の括弧は 3 番目の生徒の誕生日が最初の 2 人の誕生日と異なる確率です。掛け算の結果は、3人の誕生日が異なる確率です。 4人の誕生日が異なる確率は(364/365)×(363/365)×(362/365)…

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これを 40 人目まで計算し、計算された確率を 1 から引きます。これが、知りたい質問の答え、つまり 40 人の中で誕生日が重複する確率です。

最終結果は89.1%です。予想よりも大きいですか？

学生数が増え続ければ、その確率は急激に上昇するでしょう。 50 人のクラスの場合、確率は 97.0% ですが、60 人の場合は 99.4% に達し、70 人の場合はすでに 99.9% になります。言い換えれば、70 人のクラスに同じ誕生日の人がいない確率は 1000 分の 1 未満です。

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ヒント: 実際のプロセスでは、無駄に 30 回や 40 回計算する必要はありません。コンピュータ ソフトウェア (簡単なスプレッドシートで十分) は、この反復的で退屈な作業を完了するのに役立ちます。

「誕生日問題」と呼ばれる非常に古典的な数学的な「パラドックス」があります。つまり、2 人の誕生日が同じである確率が 50% を超えるには、部屋に何人必要かということです。

上記の計算方法に基づくと、答えは簡単に 23 人になります。この数字はほとんどの人が直感的に推測するよりも少ないと私は信じています。 「パラドックス」と呼ばれていますが、誕生日問題は論理的な矛盾を引き起こすという意味でのパラドックスではありません。この数学的事実が一般的な直感と矛盾するからこそ、パラドックスと呼ばれるのです。結局のところ、23 人のうち 2 人が同じ誕生日である確率は 50% よりはるかに低いはずだとほとんどの人が考えるでしょう。

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あなたと同じ誕生日の人に出会う可能性はどれくらいでしょうか？

この時点で、次のような疑問が湧くかもしれません。上で計算した確率は予想外に大きいのに、なぜ子供の頃からクラスで自分と同じ日に生まれた人に会ったことがないのでしょうか。

実際、あなたが十分に賢いなら、これは別の命題であることがわかるはずです。40人のクラスの中にあなたと同じ誕生日の人がいる確率はどれくらいでしょうか?

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私たちは今でも、生徒を一人ずつ教室に招き入れて質問に答えてもらうという思考法を採用しています。まず、40 人のクラスにあなたと同じ誕生日の人がいない確率を計算し、次にこの値を 1 から引いて必要な結果を取得します。

まず、「私」が教室に入ります。教室に2番目に入ってくる生徒が「私」と誕生日が異なる確率は364/365です。 2番目と3番目の生徒が「私」と誕生日が異なる確率は(364/365)×(364/365)です。 4人目の生徒が教室に入ると、答えは(364/365)×(364/365)×(364/365)…になります。

同様に、n 番目の生徒の場合、確率は (364/365) の n-1 乗になります。最後に、上記の結果を 1 から引きます。これは、n 人のクラスの中にあなたと同じ誕生日の人がいる確率です。計算結果は、4人クラス（0.8％）、23人クラス（5.8％）、40人クラス（10.1％）…となります。

結果は、前の質問よりも私たちの一般的な理解と一致しています。したがって、40 人のクラスで、あなたと同じ誕生日のクラスメートがいる確率は 10.1% です。

私たち一人ひとりは、幼少期から成人期まで、多くの授業に参加します。上記の計算結果によると、幼少期から成人期までどのクラスにも同じ誕生日の人がいないというのは本当に奇跡的なことですね！小学校のクラスを60人、中学校のクラスを70人、高校のクラスを50人、大学のクラスを30人として確率を計算しました。結果は1000万分の5未満であり、確率的には宝くじのジャックポットレベルです。

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したがって、世界中の何十億人もの人々は言うまでもなく、ある集団の中で同じ誕生日を迎える確率は、多くの人が予想するよりもはるかに高いのです。

もちろん、実際には毎日の出生率に大きな違いはないので、世界の 70 億人のうち、特定の日付 (日付は特定の年と日付ではなく、たとえば 1985 年 3 月 14 日ではなく 3 月 14 日であることに注意してください) に対応する総人口は約 2,000 万人です。歴史上亡くなった人々を数えてみると、特定の日に生まれた人の数は天文学的な数字になるはずですし、特定の日に数え切れないほど多くの有名人が生まれたり亡くなったりしています。

ですから、私たちは毎日が美しく、特別で、魔法のような日であることを望みますが、実際には毎日は平凡でありふれた日であり、「奇跡の日」と呼ばれる日はありません。

この記事は中国科学普及協会が作成し、李睿（大阪大学）が執筆し、中国科学院コンピュータネットワーク情報センターが監修しました。

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