地球の質量は約600兆トンですが、もっと大きくて遠い星の質量を計算することはできるでしょうか？

地球の質量は5.965x10∧24キログラムで、およそ600兆トンに相当します。

このことについて言及されるたびに、必ず誰かが「地球はとても大きいのに、その質量はどうやってわかるのか？」という疑問を抱きます。私たちが地球の質量を知っているのは、ニュートンとキャベンディッシュという二人の科学者が教えてくれたからです。ニュートンは万有引力を発見し、万有引力の公式 F=G(m1m2/r∧2) を提唱しました。質量を持つ 2 つの物体は、互いに重力の作用を及ぼします。例えば、私たちが地面にしっかりと立つことができるのは地球の重力のおかげですが、この重力の大きさは F で、9.8N/kg です。 m1 と m2 はそれぞれ 2 つの物体の質量を表します。上記の例では、m1 は地球、m2 は私たち自身です。 r は、もちろん地球の半径です。

万有引力の式において、G は万有引力定数を表します。ニュートンの時代には、人々は万有引力定数を測定する方法を発見していませんでした。つまり、万有引力の公式があったにもかかわらず、キャベンディッシュが登場するまでは地球の質量を計算する方法がなかったのです。

キャベンディッシュは「ねじり天秤」と呼ばれるシンプルで興味深い実験装置を発明しました。この実験装置の本体は、実際には木の棒、2つの小さなボール、そして細いワイヤーです。キャベンディッシュはこのような装置を使って、重力定数を6.754x10∧-11と正確に測定しました。万有引力定数がわかれば、万有引力の公式を使って、m1の質量、つまり地球の質量を簡単に計算できます。結果は5.965x10∧24キログラム、約600兆トンになります。

地球の質量は万有引力の法則を使って簡単に計算できます。では、太陽のように地球よりもはるかに大きい星の場合、その質量も計算できるのでしょうか?

もちろん可能ですが、今回は万有引力の法則をそのまま使うことはできません。なぜなら、太陽の半径は観測によってしか判断できず、太陽に行って重力の加速度を測定する方法がないからです。私たちは何をすべきでしょうか?このとき、別の式が必要になります。この式はケプラーの公式、つまりm1+m2=(4π∧2/G)(R∧3/P∧2)です。この式では、m1は地球の質量、m2は太陽の質量、Gはやはり万有引力定数、Rは地球の公転半径、つまり地球と太陽の平均距離、そしてPは地球の公転周期です。この式で唯一未知な数字は太陽の質量なので、それを計算することができます。

ケプラーの公式を使って計算した太陽の質量は1.989x10∧30キログラムとなり、これは地球の質量の33万倍になります。

この式を使用すると、太陽の質量だけでなく、他の天体の質量も計算できます。ケプラーの公式はどのようにして他の天体の質量を計算するのでしょうか?皆さんはそのような疑問を抱くに違いありません。なぜなら、地球の質量がわかっているので、ケプラーの公式を使って太陽の質量を計算することができますが、他の天体の場合、地球の質量は役に立たないからです。火星を例に挙げてみましょう。フォボスとデイモスという2つの衛星を持っています。ケプラーの公式を使って火星の質量を計算する場合、フォボスとデイモスのどちらかをランダムに選択することができます。フォボスを選択したと仮定しましょう。

ケプラーの公式を使って火星の質量を計算するには、フォボスの軌道半径、フォボスの軌道周期、およびフォボスの質量を知る必要があります。

フォボスの軌道半径と軌道周期は観測によって得ることができますが、フォボスの質量は不明です。しかし、知らなくても問題ありません。太陽の質量を計算するときに、地球の質量がわからなくても、計算結果にはまったく影響しないからです。地球は太陽に比べて非常に小さいため、その質量はほとんど無視できるほどです。同様に、フォボスは火星に比べて小さすぎて質量は無視できるため、計算時にはフォボスの質量をゼロと仮定することができ、このようにして火星の質量を計算することができます。

ケプラーの公式を使って太陽系の天体を計算することができます。しかし、星が私たちから非常に遠く、数十光年、あるいは数百光年離れており、その周りを周回する惑星もない場合は、その質量をどのように計算するのでしょうか?方法はあります。

明るさを観察することで質量を知ることもできます。どうやって知るのですか?簡単に言えば、星の明るさを太陽の明るさと比較することです。では、星の明るさと質量にはどのような関係があるのでしょうか?これは次の式で表すことができます: L (恒星の光度) / L (太陽の光度) = (M (恒星の質量) / M (太陽の質量)) ∧ 3.5。星の明るさ、太陽の明るさ、太陽の質量はすべてわかっているので、当然星の質量もわかります。

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