物理学における経済性: 最小作用の原理とは何ですか?

今日は物理学における経済原理、最小作用の原理についてお話します。この経済原則は、私たちの祖先の知恵にも反映されており、『道徳経』の一節には「大いなる道は容易であるが、人々は近道を好む」とあります。

まず光学現象から始めなければなりません。古代ギリシャでは、ユークリッドが鏡の反射の法則を要約しました。それは、入射角は反射角に等しいというものです。後に、アレクサンドリアのヘロデは、光線が最短経路を取ろうとするため、このように動作することに気づきました。

今日の数学を使って、点 A から反射点を通過して点 B に到達するまでの経路長の関数を書き出すと、入射点の座標に対する経路長の微分 (ゼロ) が得られる条件は... これが反射の法則と呼ばれるものです。

その後、人々は光の屈折に注目するようになりました。ある媒体の点 A から出発し、入射点を通過して別の媒体の点 B に到達し、経路長関数を書き出して入射点の座標 (ゼロ) に対する微分を求めると、最短経路の条件を導き出すことができます。これがいわゆる屈折の法則です。

屈折の法則と反射の法則は最短経路の原理に統合できることがわかり、何らかの普遍性があるのではないかと想像できます。ここで光学とはまったく関係のない例をお話ししましょう。私たちは、小さな僧侶がお寺から出てきて、バケツを持って川まで水を汲みに行き、その後野菜畑に水をやりに行くところを想像します。バケットの質量（重量）は 2 つのパスで異なります。この質量（重さ）を重りとして使う経路は、A地点から川までの距離と川から菜園までの距離の合計になります。最短条件を見つけることができれば、式を導き出すことができます。

これは、反射と屈折の法則を組み合わせたようなものです。このことは、最短経路の法則が何らかの形で普遍的である可能性があることを示しています。

さて、ここで力学の問題に移りましょう。 17 世紀までに、ガリレオは物体の落下の法則を提唱し、ニュートンはニュートンの第二法則を提唱しました。ただし、多くの機械的な問題には依然として特別な考慮が必要です。たとえば、小さなボールが A 地点から B 地点に落ちるとします。最短経路はどうなるでしょうか?静力学の問題も考慮することができます。 2 点から吊り下げられたチェーンが平衡状態にあるときの構成はどのようなものですか?吊り鎖、つまりカテナリー問題に関して、その経済的原理は何でしょうか?このような構成では全体的な位置エネルギーが最小になると考えられます。つまり、位置エネルギーを鎖の形状の積分として表すことができ、その最小値の条件を見つけることで懸垂線の形状を得ることができます。

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これにより、関数の機能という非常に複雑な問題が発生します。関数についての関数の極値をどのように見つけるかという問題は、実際には非常に困難です。 1696 年、ヨハン・ベルヌーイは世界に向けて行動を呼びかけ、懸垂下降ラインの問題の解決を求めました。彼の兄弟であるヤコブ・ベルヌーイは、関数の極値を見つけるための数学的手法、つまり微分法の発展である変分法を開発しました。

これまで、このような動きについてであろうと静的な構成についてであろうと、構成またはパスに関する関数の最小積分の条件を見つける必要があることがわかりました。そのような関数の形式は分からないかもしれません。その積分が極値になるには、有名な方程式であるオイラー-ラグランジュ方程式を満たす必要があります。もちろん、物事はそれほど単純ではなく、時には他の条件を満たす必要があります。例えば、架線に関しては、架線の長さが変化しないという条件を満たす必要があります。

いずれにせよ、今では誰もが、物理法則が、ある量を最小限に抑えるという特定の経済原則を満たしている可能性があることを認識しています。 1741年から1746年にかけて、フランスの科学者モーペルチュイは、すべての運動は最小作用の原理という法則に従わなければならないという結論を下しました。

最小作用の原理を満たすので、この作用はどのように見えるでしょうか?彼は例を挙げて、自由粒子の運動の場合、この運動の作用または努力は、質量にその速度を乗じ、さらにその変位を乗じ、それを全経路にわたって積分したものに等しくなければならないと述べた。この行動形態は合理的でしょうか？太った男が走っているのを見れば、それがいかに合理的であるかが分かるでしょう。太った人が走るとき、その努力は当然、体重に比例し、速度に比例し、変位を掛けて、全行程にわたって積分されます。もちろんこれは単純な状況です。

英国の科学者ハミルトンは、ポテンシャル場における粒子の動きを調べると、全体の動作はラグランジアン関数の時間積分になるはずであり、ラグランジアン関数は粒子の運動エネルギーからそのポテンシャルエネルギーを引いたものであると結論付けました。この最小限の行動の原則は非常に深い意味を持っています。これを点粒子から場へと拡張し、電磁場や重力場の問題を扱うために使用することができます。

電磁気現象の場合、電磁場のラグランジアンを書き出し、最小作用の原理を使用してその方程式を取得するだけで済みます。重力の問題では、重力場のラグランジアンを書き出すと、最小作用の原理を通じて重力場の方程式を得ることもできます。ラグランジアンに対する最小作用の原理、つまりオイラー-ラグランジュ方程式の要件から、ラグランジアンが座標の明示的な関数でない場合は、保存則が得られることは明らかです。

1918 年、有名な女性数学者エイミー・ネーターは、このラグランジアンには多くの隠れた対称性があるのなら、対応する保存量を構築できるのではないかと考えました。こうして、有名な論文「不変変分原理」が生まれ、それ以来、人類社会は真の理論物理学を持つようになりました。最小作用の原理は最終的にさらに発展しました。最小作用の原理は相互作用からラグランジアンを作成し、ラグランジアンからその保存則を導出することがわかります。逆に、実験から得られた特定の物理現象の保存則を使用してその対称性を見つけ、それによって対応するラグランジアンを作成し、最小作用の原理を使用してこの相互作用を研究することもできますか?これは、対称性が相互作用を決定する理論物理学の後期段階です。

最小作用の原理とは何でしょうか?要約すると、この世界のすべてが極端だと言えます。もちろん、最小動作の原則は非常に奥深いテーマであり、このような短い記事で明確に説明するのは困難です。

最後に、西洋言語の「理解」という言葉を思い出していただきたいと思います。英語では comprehend 、フランス語では comprehendre ですが、文字通りの意味は「一緒に取る」です。それはどういう意味ですか？サッカーボールを 10 個持ってくるように頼んだら、あなたはそれを達成できないかもしれません。しかし、私があなたにネットバッグを与えて、あなたがボールを一緒に入れれば、あなたはそれらを持ってくることができるでしょう。最小限の行動の原則は、人々が一度に多くの知識を習得できるようにする原則です。それは原則を超えた原則です。今後の物理学の研究では、最小作用の原理にもっと注目していただければと思います。

この記事は、科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けた作品です。

著者: 曹則賢

レビュー者: Luo Huiqian

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司