地球の半径を計算しますか？必要なのは写真と中学校レベルの知識だけです!

プリンストン大学のロバート・J・ヴァンダーベイ教授は、湖に沈む夕日の写真を基に、地球が丸いことを証明し、地球の半径を示しました。

著者：Ji Yang （中国科学院半導体研究所）およびGao Guoqiang （ハルビン工業大学（威海））

何かが作れるということを知ることが最大の手がかりです。何かが作れるということがわかっていれば、それがどのように作られるかを正確に知らなくても、多くの人がそれを作ることができます。こうしたことは科学の発展の歴史においてはよくあることです。

たとえば、ガリレオは望遠鏡を発明しました。実のところ、ガリレオは望遠鏡を発明した最初の人物ではありませんでした。 1609年5月、ガリレオはオランダの誰かが遠くの景色を見ることができる「魔法の鏡」を発明したという話を偶然耳にしました。彼はこの「魔法の鏡」を訪れたり購入したりする代わりに、自分で作りました。 3か月も経たないうちに、彼は2つの楽器を真似て、それを使って星空を眺めるようになった。彼は月の高地やクレーターによって投げかけられた影を観察し、太陽の黒点を発見し、木星の4つの最大の衛星を発見しました。ガリレオは望遠鏡の助けを借りて、土星の環、太陽の自転、金星と水星の満ち欠け、月の昼と月ごとの秤動、そして天の川が無数の星で構成されていることも発見しました。

次の例は現代に起こったものです。

2008 年 7 月 5 日、ミシガン湖畔で、プリンストン大学のロバート J. ヴァンダーベイ教授が夕日の写真を撮影しました。太陽は地平線の下に沈みかけており、湖面にその反射を残していた。ファン・デル・ベイ教授は、この写真と高校の物理と数学の知識を組み合わせれば、地球が丸いことを証明でき、地球の半径も求められることに気づいた。

図1 米国ミシガン湖の夕日。プリンストン大学のヴァンダーベイ教授、2008年7月5日に撮影。

基礎

ここで必要な物理的な知識は、光は直線的に伝播するということです。光が鏡で反射される場合、入射角は反射角に等しくなります。

ここで必要な数学の知識は、ピタゴラスの定理、2 つの直角辺の平方の合計は斜辺の平方に等しい、ということです。三角形の正弦定理、つまり三角形の辺の長さは対角の正弦に比例します。

ポイントは、水面が鏡のように平らで太陽光を反射するということです。しかし、鏡や水面の「平坦さ」は局所的に平坦なだけであるのに対し、地球の表面は湾曲しています。あなたと私は2つの異なる場所に立っているので、あなたの「平坦さ」は私にとって「斜め」に見えます。太陽光が平行に入射する場合、太陽光に対する水面の傾斜角度は場所によって異なります。

この分析は単純ですが、やや面倒です。以下では、『中学生のための数学・物理・化学（中学版）』の読者にも理解していただけるよう、解析のプロセスを詳しく書きます。読者はまず自分で結果を導き出してみて、困難に直面したときに私たちの説明に戻ることをお勧めします。最初は結論だけを知っていて、自分たちで推論していました。この問題の難しさは推論にあるのではなく、この図には結論に必要なすべての情報が含まれていることを認識することにあります。

モデルと導出

私たちの分析の概略図（図 2）は van der Bei 教授のものと似ていますが、詳細な説明のためにいくつかの新しい記号が付けられており、分析プロセスも若干異なります。具体的な手順は次のとおりです。

データ分析

ファンデルベイ教授は写真のデータ分析を行った（図3）：太陽の直径は317ピクセル、地平線からの太陽の高さは

図3 ファンデルベイ教授による湖に沈む夕日のデータ分析。

地球の半径は次のように求められる。

終わりました。しかし、これは少し正確すぎると思います。このような単純なモデルでは、これほど正確である必要はないのでしょうか?

話し合う

つまり、地球は巨大であり、それが丸いかどうかを知るため、あるいはその半径を測定するためにも、長い距離を旅する必要があるのです。

しかし、プリンストン大学のヴァンダーベイ教授は、海辺（または大きな湖）で日の出や日の入りの写真を撮るだけで、地球が丸いことを証明でき、地球の半径もわかることに気づきました。ここでの論理は中学生でも理解できるほど単純ですが、難しいのは、まずこの写真に基づいてこのすべての情報を得ることができることに気づくことです。

振り返ってみると、この分析は非常に単純ですが、真実に最初に気づいた人はやはり注目に値します。重要なのは、彼が真剣に考えたということだ。おそらく誰かが以前にそれについて考えたことがあるか、あるいはそれについて書いたことがあるでしょう。大切なことは何度も発見されるものです。

一方では、太陽の下には新しいものは何もありません。一方、新しい概念、新しい方法、新しい測定機器は新しい洞察をもたらし、私たちが毎日目にする「自然な」現象について深く考えることで、時には報われることもあります。

地球が丸いことに人類はずっと昔から気づいていたはずだが、彼らはいつも少し間違っていた。

例えば、春秋戦国時代においては、「孔子が東山に登ると、魯を見下ろし、泰山に登ると、全世界を見下ろした」（孟子『中庸』上）ということが知られています。「私はつま先立ちして見てみたが、高いところから眺める広い景色には及ばない」（荀子『学問のすすめ』）さて、次に何が起こるかは明らかです。高く行けば行くほど、地平線が遠ざかるので、視界が広くなります。もちろん、これは質的な理解に過ぎず、孟子や荀子は地球が丸いと推論したわけではありません。

定量的なものもあります。論衡の「太陽論」の中で、東漢の王充はこう言っている。「夜、松明を持って人を道に歩かせてみよ。道は平坦で危険はない。人から十里も離れると松明は消える。」平原で、夜に松明を持って歩くと、10 マイルほど歩くと松明が見えなくなります。ここでは「10マイル」という定量的なデータがあり、トーチの地面からの高さは約1〜2メートルであり、そこから地球の直径は約数万マイルであると推測できます。残念ながら、王充はこれに気づかず、代わりにこれを「外天理論」の証拠として利用し、「渾天理論」を反駁した（現在では、渾天理論の方がより合理的であると思われる）。

もちろん、古代中国の神子や張衡、古代ギリシャのピタゴラスやアリストテレスなど、人々は昔から地球が丸いことを推測してきました。紀元前3世紀、古代ギリシャの天文学者エラトステネスが正午に地球に当たる太陽光と2つの観測地点間の距離に基づいて、初めて地球の円周を計算したと言われています。西暦726年、唐代の天文学者宜興が国家の天文測地測量を統括しました。彼は北極の高さと夏の一日の長さを利用して、子午線1度の長さと地球の円周を計算しました。

この記事は、よくある質問「なぜ教科書をもっと詳しく書けないのか？」にも答えてくれるかもしれません。答えは、もっと詳しく書くこともできますが、本が厚くなりすぎてしまうということです。

湖畔の夕日の分析では、まだ考慮されていない要素や詳細が数多くあります。これらが分析結果にどのような影響を与えるか考えてみてください。

たとえば、同じ日に世界のさまざまな場所でこのような写真を撮影した場合、結果は異なります。同じ場所でも日によって写真を撮った場合、結果も異なります。地球は（黄道面上で）太陽の周りを公転していますが、地球の自転軸は黄道面に対して垂直ではありません。したがって、同じ場所で何日も写真を撮ったり、同じ日に多くの場所で写真を撮ったりすると、地球が丸いこと、地球の半径、黄道面に対する自転軸の中心角、写真が撮影された場所の緯度など、多くの情報が得られます。

もちろん、これは日時計との類似点があることにも気づくかもしれません。この情報は、ポールを立てて同じ場所で 1 年間太陽の影を観察したり、同じ日に多くの場所を記録したりすることによっても得られます。古代の人々はカメラを持っていませんでしたが、観察し考える方法も知っていました。

リメリック

この本は以下のように分かれています:

夕方、湖のそばを歩いていると、突然あるアイデアが浮かびました。

空には太陽があり、その姿が水面に映っています。

このことから地球は球体であることがわかります。

幾何学の知識を使えば、地球の半径を求めることができます。

参考文献

[1] ロバート・J・ヴァンダーベイ、「地球は平らではない：夕焼け写真の分析」、Optics & Photonics News（OPN）、34-39、2008年11月。

[2] https://vanderbei.princeton.edu/FRS_131/lectures/lec3.pdf

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部